【半沢直樹もびっくり！】 高校数学の「借金4倍返し」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約1分22秒
問題
銀行から100万円を年利7％の複利法で借りた。
\( \ n \ \)年後にまとめて返済するとき、
返済金額（元利合計）が元金の4倍をはじめて超えるのは何年後になるか。
また、その際の返済金額（元利合計）はおよそいくらになるか。
必要であれば、以下の値を用いてもよい。
\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \)
\( \ \log_{10}1.07=0.0293 \ \)
\( \ \left( 1.07\right)^{10}=1.967 \ \)
\( \ n \ \)年後にまとめて返済するとき、
返済金額（元利合計）が元金の4倍をはじめて超えるのは何年後になるか。
また、その際の返済金額（元利合計）はおよそいくらになるか。
必要であれば、以下の値を用いてもよい。
\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \)
\( \ \log_{10}1.07=0.0293 \ \)
\( \ \left( 1.07\right)^{10}=1.967 \ \)
解法
返済額が元金の4倍になる年数を求める
$$\begin{align}100万\times \left( 1.07\right)^n \geqq &400万 \\\\ \left( 1.07\right)^n \geqq &4\\\\ 両辺の常用対数をとって \\\\ n\log_{10}1.07 \geqq &\log_{10}2^2 \\\\ n \geq&\displaystyle\frac{2\times 0.3010}{0.0293} \\\\ n \geqq &20.54 \\\\ &21年後 \end{align}$$返済金額（元利合計）を求める。
$$\begin{align}100万\times \left( 1.07\right)^{21}=&100万\times \left( 1.07\right)^{\color{red}{10\times 2+1}} \\\\ =&100万\times \left( 1.967\right)^2\times 1.07 \\\\ =&100万\times 4.13992523\\\\ &およそ414万円 \end{align}$$
100万借りて、21年後に414万円も返すって。。。
年利7％って、なかなかの暴利なうえ、複利ですからね。
年利7％って、なかなかの暴利なうえ、複利ですからね。
こたえ
\( \ 21 \ \)年後におよそ\( \ 414万 \ \)円返済することになる。
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