高校数学の「三角比や辺の長さ」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2020年5月7日図形と計量Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 三角比や辺の長さ , 正弦定理 , 余弦定理 , 数学検定準2級
Lukia_74
Lukia
 2020年のゴールデンウィーク的なものも終わりましたね。 一本もブログを書かずに、休みを終えてなるものか!と、記事をあげようと思います。 (ネタノートだけはパンパンです)

問題

problem

 

\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)において
\( \ \angle \mathrm{A}=60^{\circ}\quad a:b=2:1\quad c=6 \ \)のとき、
次の値を求めよ。
(1) \( \ \sin \mathrm{B} \ \)の値
(2) \( \ b \ \)の長さ

不正確でも描かないよりはマシ。

Lukia_74
Lukia
 図形の問題を解くときは、とにかく問題文の「文字情報」を、図形という「視覚的情報」に変換する作業に力を入れることが大切です。 はじめからかなり正確な図形が描けるにこしたことはないのですが、高校数学の場合、計算によって数値を求めることが主なので、かなりアバウトなものでかまいません。 実際、私の描いた図もこの程度です。 問題文の情報を図形に落とし込む辺\( \ a \ \)と辺\( \ b \ \)の比は\( \ 2:1 \ \)のはずなのに、ほとんど反映されていないでしょ?(笑) はじめはこの程度でいいんです。 問題が進むにつれ、たとえフリーハンドでももう少し正確な図を描いた方が解きやすくなるという問題はありますが、 今回は、このぐらいアバウトで十分です。 もっともやっちゃだめなのは、図形の問題なのに、一切図を描かないこと。 「不正確でも描かないよりはマシ!」と開き直って、ガシガシ描きましょう。

辺の長さを文字で置いたっていい

Lukia_74
Lukia
このタイトル、ぺこぱの松蔭寺さん風に読んでもらえればうれしいです。(笑) 数学は、正確な数値がわからない場合、文字を置きます。 ある意味、「わからない。」ってことを明確にするために文字で表現するんですね。 今回、(2)の問題で辺\( \ b \ \)の長さを求めるので、\( \ b=x \ \)と置きます。 さらに、\( \ x \ \)は「辺の長さ」を示すので、\( \ x \gt 0 \ \)という条件も必要ですね。 問題を解く私たちには、「正確な数値のわからないものを文字に置く」という自由が与えられていますが、 「置いた文字が何を表すのかきちんと説明する、なんなら条件も付け加えておく」という責任なり義務なりも課せられています。 単にテクニックを覚えるだけでなく、解法を読む相手がいることを意識すると、数学は徐々にできるようになるのではないかと思います。

(1)を解く

$$\begin{align}辺 \ b=&x\quad \left( ただし \ x \gt 0\right) とすると\\\\ a=&2x\quad と表せる. \\\\ 正弦定理より&\\\\ &\frac{a}{\sin \mathrm{A}}=\frac{b}{\sin \mathrm{B}}\\\\ & \sin \mathrm{B}=\frac{b\sin \mathrm{A}}{a}=\frac{x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2x}=\frac{\sqrt{3}}{4} \end{align}$$

(2)を解く

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 せっかく辺\( \ c \ \)の長さが与えられているのですから、 余弦定理を用いて辺\( \ b \ \)の長さを求めましょう。 また、\( \ \cos 60^{\circ} \ \)の大きさは、暗記必須レベルですから、これを求めるていで余弦定理を導けるといいですね。

余弦定理より
$$\begin{align}\cos \mathrm{A}=&\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\\\ =&\frac{36+x^2-4x^2}{12x} \\\\ \frac{1}{2}=&\frac{x^2-12}{-4x}\\\\ -2x=&x^2-12\\\\ \\\\ x^2+2x-12=&0\\\\ x=&-1 \pm \sqrt{13}\\\\ \\\\ ここで&x \gt 0\quad より\\\\ &x=-1+\sqrt{13} \\\\ ゆえに&\quad b=-1+\sqrt{13} \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)\quad &\frac{\sqrt{3}}{4} \\\\ \\\\ \left( 2\right)\quad &-1+\sqrt{13} \end{align}$$

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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