高校数学の「データの分析（データの変化に影響を受けるものは？）」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年2月22日2023年1月14日データの分析実用数学技能検定（数学検定数検),数検準2級

読了時間: 約4分44秒

[mathjax]

問題

変量$ \ x \ $のデータ平均値が$ \ 25 \ $,分散が$ \ 16 \ $であるとする。
この時、次の式によって得られる新しい変量$ \ y \ $のデータについて、平均値、分散、標準偏差を求めよ。
(0)　$ \ y=ax+b \ $ (ただし,$ \ a \ , \ b \ $は実数.　特に$ \ a \neq 0 \ $)
(1) $ \ y=x+2 \ $
(2) $ \ y=3x \ $
(3) $ \ y=3x+2 \ $
(4) $ \ y=-2x-3 \ $

あえて難しい変数で計算しちゃえ！

大学入試センター試験では、元の変量にいくらか変化をつけたうえで、
さて、平均は？分散は？標準偏差はどうなる？という問題が大好きです。

この問題もYahoo!知恵袋に載っていたのは、(1)の問題だけでした。
その後私が(2)以降のバリエーションを加えたのですが、

Lukia

具体的な数で、チマチマ変化を見るより、
$ \ y=ax+b \ $と定数$ \ a \ , \ b \ $をおいて、変わるところ、変わらないところを見たり、公式化してしまって、数字を入れていくほうが楽だし、便利じゃね？

と思い、あえて（0）を加えました。

それでは、以下のピンクの枠に囲まれた部分を基本事項として、(0)の変化を見てみましょう。

$$\begin{align}変量 \ x& \ の \\\\ 平均値：\quad &\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i}=25\quad \left( 以下, \ i=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ n\right) \\\\ \\\\ 分散：\quad &s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left( x_i-\overline{x}\right)^2}=16 \\\\ \\\\標準偏差：\quad &s_x=\sqrt{s_x^2}=4\quad \left( s_x \gt 0\quad より\right) \end{align}$$

(0)を求める。

$$y=ax+b$$

$$\begin{align}平均値：\quad \overline{y}=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{y_i} \\\\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{ax_i}+\frac{bn}{n} \\\\ =&a\overline{x}+b\\\\ 分散：\quad s_y^2=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left( y_i-\overline{y}\right)^2}\\\\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left( ax_i+b-a\overline{x}-b\right)^2}\\\\ =&a^2\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left( x_i-\overline{x}\right)^2}\\\\ =&a^2s_x^2\\\\ 標準偏差：\quad s_y=&\sqrt{s_y^2}=\vert as_x \vert\quad \left( s_y \gt 0\quad より\right) \end{align}$$

以上を表にまとめると,

変量	平均値	分散	標準偏差
$$x$$	$$\overline{x}$$	$$s_x^2$$	$$s_x$$
$$x$$	$$25$$	$$16$$	$$4$$
$$y=ax+b$$	$$a\overline{x}+b$$	$$a^2s_x^2$$	$$\vert as_x \vert$$
$$y=ax+b$$	$$25a+b$$	$$16a^2$$	$$4a$$

Lukia

定数$ \ a \ , \ b \ $がどのように影響を与えるか、おわかりいただけたでしょうか。
定数$ \ b \ $は平均値に影響を与えるのみですが、
定数$ \ a \ $は、平均値・分散・標準偏差とすべてに影響を及ぼしていますね。大学入試センター試験では、これに加えて、共分散とかも絡ませてきたりするので、もっと複雑な可能性もあるのですが、
ポイントをおさえることで、まずは不要な計算（時間）を省略することができます。

定数aの扱いは注意してね。

計算や表において、標準偏差が絶対値ではさんでありますね。

これは定数( \ a \ )が負、たとえば( \ a=-3 \ )のような場合も想定しているからです。

標準偏差は常に正であるのですが、単純に( \ as_x \ )としてしまうと,
( \ a=-3 \ )の場合、標準偏差が( \ -3s_x \ )となってしまいますよね。

まぁ、標準偏差は、分散の正の平方根と覚えていれば、かような間違いはしないと思いますが、念のため。

それでは、(1)以降をどんどん解いていきましょう。

あとはただの計算問題。

	変量	$$a$$	$$b$$	平均値	分散	標準偏差
	$$x$$	$$1$$	$$0$$	$$\overline{x}$$	$$s_x^2$$	$$s_x$$
	$$x$$	$$1$$	$$0$$	$$25$$	$$16$$	$$4$$
（0）	$$y=ax+b$$	$$a$$	$$b$$	$$a\overline{x}+b$$	$$a^2s_x^2$$	$$\vert as_x \vert$$
（0）	$$y=ax+b$$	$$a$$	$$b$$	$$25a+b$$	$$16a^2$$	$$4a$$
(1)	$$y=x+2$$	$$1$$	$$2$$	$$27$$	$$16$$	$$4$$
(2)	$$y=3x$$	$$3$$	$$0$$	$$75$$	$$144$$	$$12$$
(3)	$$y=3x+2$$	$$3$$	$$2$$	$$79$$	$$144$$	$$12$$
(4)	$$y=-2x-3$$	$$-2$$	$$-3$$	$$-53$$	$$64$$	$$8$$

Lukia

(0)は、言ってみれば、初心者にいきなりエグイ筋トレをさせているようなものです。
しかし、いったん最もエグイ体験をしてしまえば、それ以外はどうってことないような、簡単なことのように思えてきますね。

Lukia

しばらくは、(0)の計算と、変量$ \ x \ $の平均値・分散・標準偏差の求め方を覚え込みましょう。答えがわかっている問題を何度も繰り返すのは、時短のコツや手順を覚え込むうえで有効な練習法です。

こたえ

	変量	平均値	分散	標準偏差
（0）	$$y=ax+b$$	$$25a+b$$	$$16a^2$$	$$4a$$
(1)	$$y=x+2$$	$$27$$	$$16$$	$$4$$
(2)	$$y=3x$$	$$75$$	$$144$$	$$12$$
(3)	$$y=3x+2$$	$$79$$	$$144$$	$$12$$
(4)	$$y=-2x-3$$	$$-53$$	$$64$$	$$8$$