高校数学の「データの分析(データの変化に影響を受けるものは?)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

データの分析Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , データの分析 , データに変化が! , 影響を受けるのは? , 数学検定準2級

問題

problem
変量\( \ x \ \)のデータ平均値が\( \ 25 \ \),分散が\( \ 16 \ \)であるとする。
この時、次の式によって得られる新しい変量\( \ y \ \)のデータについて、平均値、分散、標準偏差を求めよ。
(0) \( \ y=ax+b \ \) (ただし,\( \ a \ , \ b \ \)は実数. 特に\( \ a \neq 0 \ \))
(1) \( \ y=x+2 \ \)
(2) \( \ y=3x \ \)
(3) \( \ y=3x+2 \ \)
(4) \( \ y=-2x-3 \ \)

あえて難しい変数で計算しちゃえ!

大学入試センター試験では、元の変量にいくらか変化をつけたうえで、
さて、平均は?分散は?標準偏差はどうなる?という問題が大好きです。

この問題もYahoo!知恵袋に載っていたのは、(1)の問題だけでした。
その後私が(2)以降のバリエーションを加えたのですが、

Lukia_74

Lukia

具体的な数で、チマチマ変化を見るより、
\( \ y=ax+b \ \)と定数\( \ a \ , \ b \ \)をおいて、変わるところ、変わらないところを見たり、公式化してしまって、数字を入れていくほうが楽だし、便利じゃね?

と思い、あえて(0)を加えました。

それでは、以下のピンクの枠に囲まれた部分を基本事項として、(0)の変化を見てみましょう。

$$\begin{align}変量 \ x& \ の \\\\ 平均値:\quad &\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{x_i}=25\quad \left( 以下, \ i=1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ , \ n\right) \\\\ \\\\ 分散:\quad &s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left( x_i-\overline{x}\right)^2}=16 \\\\ \\\\標準偏差:\quad &s_x=\sqrt{s_x^2}=4\quad \left( s_x \gt 0\quad より\right) \end{align}$$

(0)を求める。

$$y=ax+b$$

$$\begin{align}平均値:\quad \overline{y}=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{y_i} \\\\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{ax_i}+\frac{bn}{n} \\\\ =&a\overline{x}+b\\\\ \\\\ 分散:\quad s_y^2=&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left( y_i-\overline{y}\right)^2}\\\\ =&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left( ax_i+b-a\overline{x}-b\right)^2}\\\\ =&a^2\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\left( x_i-\overline{x}\right)^2}\\\\ =&a^2s_x^2\\\\ \\\\ 標準偏差:\quad s_y=&\sqrt{s_y^2}=\vert as_x \vert\quad \left( s_y \gt 0\quad より\right) \end{align}$$

以上を表にまとめると,

変量 平均値 分散 標準偏差
$$x$$ $$\overline{x}$$ $$s_x^2$$ $$s_x$$
$$25$$ $$16$$ $$4$$
$$y=ax+b$$ $$a\overline{x}+b$$ $$a^2s_x^2$$ $$\vert as_x \vert$$
$$25a+b$$ $$16a^2$$ $$4a$$
Lukia_74

Lukia

定数\( \ a \ , \ b \ \)がどのように影響を与えるか、おわかりいただけたでしょうか。
定数\( \ b \ \)は平均値に影響を与えるのみですが、
定数\( \ a \ \)は、平均値・分散・標準偏差とすべてに影響を及ぼしていますね。大学入試センター試験では、これに加えて、共分散とかも絡ませてきたりするので、もっと複雑な可能性もあるのですが、
ポイントをおさえることで、まずは不要な計算(時間)を省略することができます。

定数aの扱いは注意してね。

計算や表において、標準偏差が絶対値ではさんでありますね。

これは定数\( \ a \ \)が負、たとえば\( \ a=-3 \ \)のような場合も想定しているからです。

標準偏差は常に正であるのですが、単純に\( \ as_x \ \)としてしまうと,
\( \ a=-3 \ \)の場合、標準偏差が\( \ -3s_x \ \)となってしまいますよね。

まぁ、標準偏差は、分散の正の平方根と覚えていれば、かような間違いはしないと思いますが、念のため。

それでは、(1)以降をどんどん解いていきましょう。

あとはただの計算問題。

変量 $$a$$ $$b$$ 平均値 分散 標準偏差
$$x$$ $$1$$ $$0$$ $$\overline{x}$$ $$s_x^2$$ $$s_x$$
$$25$$ $$16$$ $$4$$
(0) $$y=ax+b$$ $$a$$ $$b$$ $$a\overline{x}+b$$ $$a^2s_x^2$$ $$\vert as_x \vert$$
$$25a+b$$ $$16a^2$$ $$4a$$
(1) $$y=x+2$$ $$1$$ $$2$$ $$27$$ $$16$$ $$4$$
(2) $$y=3x$$ $$3$$ $$0$$ $$75$$ $$144$$ $$12$$
(3) $$y=3x+2$$ $$3$$ $$2$$ $$79$$ $$144$$ $$12$$
(4) $$y=-2x-3$$ $$-2$$ $$-3$$ $$-53$$ $$64$$ $$8$$

 

Lukia_74

Lukia

(0)は、言ってみれば、初心者にいきなりエグイ筋トレをさせているようなものです。
しかし、いったん最もエグイ体験をしてしまえば、それ以外はどうってことないような、簡単なことのように思えてきますね。
Lukia_74

Lukia

しばらくは、(0)の計算と、変量\( \ x \ \)の平均値・分散・標準偏差の求め方を覚え込みましょう。答えがわかっている問題を何度も繰り返すのは、時短のコツや手順を覚え込むうえで有効な練習法です。

こたえ

変量 平均値 分散 標準偏差
(0) $$y=ax+b$$ $$25a+b$$ $$16a^2$$ $$4a$$
(1) $$y=x+2$$ $$27$$ $$16$$ $$4$$
(2) $$y=3x$$ $$75$$ $$144$$ $$12$$
(3) $$y=3x+2$$ $$79$$ $$144$$ $$12$$
(4) $$y=-2x-3$$ $$-53$$ $$64$$ $$8$$

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