高校数学の「奇数項と偶数項をペアとする数列」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

数列

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「奇数項と偶数項をペアとする数列」に関する問題を解いてみました。

問題

以下に示す数列の和を求めよ。ただし、答えは因数分解した形で答えるものとする。
\( \ \displaystyle\sum_{j=1}^{2n+1}{\lbrace \left( -1\right)^j\cdot -2j^2\rbrace} \ \)

解法

与式\( \ =\mathrm{S}_{2n+1} \ \) とし、
\( \ a_j=\left( -1\right)^j \ \)
\( \ b_j=-2j^2 \ \) とする。
$$\begin{align}\mathrm{S}_{2n+1}=\sum_{j=1}^{2n+1}{a_j\cdot b_j}=&a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3+\cdots+a_{2n-1}\cdot b_{2n-1}+a_{2n}\cdot b_{2n}+a_{2n+1}\cdot b_{2n+1} \end{align}$$
ここで、\( \ \lbrace a_j\rbrace \ \) と \( \ \lbrace b_j\rbrace \ \) の奇数項と偶数項の一般項について考える。
$$\begin{align}j=&2k-1 \left( k=1,2,3,\cdots,n\right)\rm{のとき} \\\\ a_{2k-1}=&-1 \ , \ b_{2k-1}=-2\left( 2k-1\right)^2 \\\\ j=&2k \left( k=1,2,3,\cdots,n\right)\rm{のとき} \\\\ a_{2k}=&1 \ , \ b_{2k}=-2\left( 2k\right)^2 \\\\ j=&2k-1 \left( k=1,2,3,\cdots,n\right)\rm{のとき} \\\\ a_{2k-1}b_{2k-1}=&2\left( 2k-1\right)^2\\\\ j=&2k \left( k=1,2,3,\cdots,n\right)\rm{のとき} \\\\ a_{2k}b_{2k}=&-2\left( 2k\right)^2 \\\\ a_{2k-1}b_{2k-1}+a_{2k}+b_{2k}=&2\left( 4k^2-4k+1-4k^2\right)\\\\ =&-8k+2 \ \left( k=1,2,3,\cdots,n\right)\end{align}$$
すなわち
$$\begin{align}\mathrm{S}_{2n+1}=&\left( a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2\right)+\left( a_3\cdot b_3+a_4\cdot b_4\right)+\cdots+\left( a_{2n-1}\cdot b_{2n-1}+a_{2n}\cdot b_{2n}\right)+a_{2n+1}\cdot b_{2n+1} \\\\=&\mathrm{S}_{2n}+a_{2n+1}\cdot b_{2n+1}\\\\ =&\sum_{k=1}^{n}{\left( -8k+2\right)}+2\left( 2n+1\right)^2 \\\\ =&\lbrace -8\times \frac{n\left( n+1\right)}{2}+2n\rbrace +2\left( 4n^2+4n+1\right)\\\\ =&\left( -4n^2-2n\right)+\left( 8n^2+8n+2\right)\\\\ =&4n^2+6n+2\\\\ =&2\left( n+1\right)\left( 2n+1\right) \end{align}$$

Lukia_74
Lukia
たしかめをするときは、\( \ \mathrm{S}_{2n}=-4n^2-2n \ \) に代入します。
途中から (奇数項+偶数項) でペアにしているのですが、
求めた答えは、このペアに奇数項のみの末項が加わっているので、正確な答えがでなくなるのです。
ちなみに、ペアで計算しているので、\( \ n=1 \ \) としても、第\( \ 2 \ \)項までの和が求まります。
ちょっとややこしいですね。

こたえ

\( \ 2\left( n+1\right)\left( 2n+1\right) \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74