高校数学の「現実にはエグい坂と塔」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「現実にはエグい坂と塔」に関する問題を解いてみました。

問題

傾斜が\( \ 30^{\circ} \ \)で一定の坂の頂上に塔が立っている。坂のふもとからこの塔の先を見ると、水平面に対して\( \ 45^{\circ} \ \)の角度に見えた。坂を斜面に沿って塔に向かって\( \ 30 \ \)m進んだ\( \ \mathrm{A} \ \)点から再び塔の先を見ると、水平面に対して\( \ 60^{\circ} \ \)の角度に見えた。
1) \( \ \mathrm{A} \ \)点から坂の頂上まで、斜面に沿ってさらに何mあるか。
2) 塔そのものの高さは何mであるか。
3) 塔の先と坂のふもとの高低差は何mであるか。 〔03 朝日大〕

解法

坂の頂上まであと○m

\( \ \triangle \mathrm{AOH} \ \) において、
\( \ \mathrm{AO}=30 \ \) より、\( \ \mathrm{AH}=15\sqrt{3} \ \) , \( \ \mathrm{AH}=15 \ \) である。
ここで、\( \ \mathrm{AA’}=\mathrm{HC}=x \ \) とする。
\( \ \triangle \mathrm{TAA’} \ \) において、\( \ \mathrm{TA’}=\sqrt{3}x \ \)である。

\( \ \triangle \mathrm{TOC} \ \) において、\( \ \mathrm{OC}=\mathrm{TC} \ \) より
$$\begin{align}\mathrm{OC}=&\mathrm{TC} \\\\ 15\sqrt{3}+x=&15+\sqrt{3}x \\\\ x\left( 1-\sqrt{3}\right)=&15\left( 1-\sqrt{3}\right) \\\\ x=&15\end{align}$$
\( \ \triangle \mathrm{BAA’} \ \) において \( \ \mathrm{AB}:\mathrm{AA’}=2:\sqrt{3} \ \) より
\( \ \mathrm{AB}=10\sqrt{3} \ \) (m)

塔の高さは○m

塔の高さを\( \ t \ \) とする(\( \ t \ \) は実数) \( \ \triangle \mathrm{TAA’} \ \) において
$$\begin{align}\mathrm{AA’}:\mathrm{A’T}=& 15:\left( t+5\sqrt{3}\right)=1:\sqrt{3}\\\\ 15\sqrt{3}=&t+5\sqrt{3} \\\\ t=& 10\sqrt{3} \ \left( \rm{m}\right)\end{align}$$

塔のてっぺんまでの高さ

\( \ \triangle \mathrm{TOC} \ \)において\( \ \mathrm{TC}=\mathrm{OC} \ \) より
\( \ 15\left( \sqrt{3}+1\right) \ \) (m)

Lukia_74
Lukia
図を描いているときからなんだかエグそうな坂や塔だなと思っていたんですよね。
そこで、実際に計算してみました。
坂の頂上まで\( \ 47 \ \)mですから、\( \ 50 \ \)m走ができないんです。
\( \ 47 \ \)mしかないのに、\( \ 41 \ \)mも高くなります。
おそらくひっくり返りそうなぐらい急な坂です。登りきったら転げ落ちそうで怖いんじゃないかな。
そして、その坂の上に立つ塔のエグさときたら。
\( \ 17.3 \ \)mもあるんです。
坂のふもとから見たら、塔がど〜ん!と見える感じでしょうね。

こたえ

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74