「西暦2345年の元日は何曜日？」問題を解いてみる。（その2）
Google Alertsに「西暦2345年の元日は何曜日？」という表示があったので、問題を解いてみました。
ただし、うるう年には厳格な規定があったので、この記事では、そこを修正した解法を載せています。
西暦2345年の元日は何曜日？ 計算する方法を考えよう
ちなみに、「西暦2345年の元日は何曜日？」問題を解いてみる。（その1）という記事もあります。
https://makelemonadejp.com/what-day-of-the-week-is-new-years...問題を解くのにおさえておきたいこと
西暦Y年はうるう年？
西暦Y年がうるう年かどうかは以下の3つの基準で判定できます。
基準1：Yが( \ 400 \ )の倍数の年はうるう年である。
西暦400年、800年、1200年、1600年、2000年、2400年( \ \cdots\cdots \ )
基準2：Yが( \ 100 \ )の倍数であって、( \ 400 \ )の倍数でない年は平年である（うるう年でない）。
西暦100年、200年、( \ \cdots\cdots \ )1900年、2100年、2200年、2300年、2500年( \ \cdots\cdots \ )
基準3：Yが( \ 4 \ )の倍数であって、( \ 100 \ )の倍数でない年はうるう年である。
西暦4年、8年、( \ \cdots\cdots \ )96年、( \ \cdots\cdots \ )2004年、2008年、( \ \cdots\cdots \ )2020年、2024年、( \ \cdots\cdots \ )2344年、( \ \cdots\cdots \ )
曜日を数字で表しておく
ここで、曜日を数字で表すことにします。
表計算ソフトにならって、
以下のようにしました。
| 曜日 | 数字(mod7) |
| 日曜日 | 1 |
| 月曜日 | 2 |
| 火曜日 | 3 |
| 水曜日 | 4 |
| 木曜日 | 5 |
| 金曜日 | 6 |
| 土曜日 | 0 |
うるう年の曜日を等差数列で求める
あるうるう年は2020年の元日から何日進んでいるかを等差数列で表します。
初項は水曜日を表す\( \ 4 \ \),公差は\( \ 5 \ \)ですから、
\( \ a_n=5n-1 \ \) (ただし\( \ n \ \)は自然数）
等差数列に西暦を代入できるようにする
等差数列を用いることで、うるう年ごとに何日増えたかが計算できるようになりました。
しかし、数が大きくなるので、迷わず計算できるようもうひとくふう加えます。
\( \ n \ \)を西暦を用いて表せるようにします。
あるうるう年を\( \ \mathrm{U} \ \)とする。
（\( \ \mathrm{U} \ \)は、\( \ 2020 \leqq \mathrm{U} \ \)で、かつ\( \ {\mathrm{U}} \equiv {0} \pmod {4} \ \)を満たす4桁の整数)
\( \ n=\displaystyle\frac{\mathrm{U}-2020}{4}+1 \ \) と表せるので、
等差数列\( \ a_n \ \)あらため、\( \ a_\mathrm{U} \ \)は、
\( \ a_\mathrm{U}=5\left( \displaystyle\frac{\mathrm{U}-2020}{4}+1\right)-1 \ \) である。
うるう年の基準2を無視して計算する
まずは、4年毎にうるう年が来る。と仮定して、2345年に近いうるう年の元日までに何日増えるかを計算してみます。
$$\begin{align}a_{2344}=&5\left( \displaystyle\frac{2344-2020}{4}+1\right)-1 \\\\ =&5\left( \displaystyle\frac{324}{4}+1\right)-1 \\\\ =&5\times 82-1\\\\ =&410-1\\\\ =&409 \end{align}$$ そして、2345年はうるう年の翌年なので、2日増えることになりますから、
\( \ 409+2=411 \ \)
2020年の元日から2345年の元日までに411日増えることになります。
235年間にうるう年でない年があった。
まずは、正確に計算するため、4年毎にうるう年が来ると仮定しました。
しかし、うるう年の判定基準2より、2100年、2200年、2300年はうるう年ではなく、平年の扱いとなっています。
ということは、上の計算では、3日多く加えていることになるのですね。
すなわち、仮定で求めた2345年の元日の曜日の3日前が、本来の2345年元日の曜日ということになります。
\( \ {408} \equiv {2} \pmod {7} \ \)
数字2は月曜日ですから、
2345年の元日は月曜日です。
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