高校数学の「放物線の動き回る軸と固定された定義域」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

二次関数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「放物線の動き回る軸と固定された定義域」に関する問題を解いてみました。

問題

\( \ x \ \)の2次関数 \( \ y=3x^2-2\left( a+1\right)x+a^2-a \ \) について、
1) この2次関数のグラフの軸の方程式を求めよ。
2) \( \ a=5 \ \) であるとき、この2次関数の\( \ 1 \leqq x \leqq 2 \ \) における最大値と最小値を求めよ。
3) \( \ a \leqq 2 \ \) であるとき、この2次関数の \( \ 1 \leqq x \leqq 2 \ \) における最小値が\( \ 11 \ \)となるような \( \ a \ \) の値を求めよ。また、このときの \( \ 1 \leqq x \leqq 2 \ \) における最大値を求めよ。
4) \( \ 2 \leqq a \leqq \displaystyle\frac{7}{2} \ \) であるとき、この2次関数の \( \ 1 \leqq x \leqq 2 \ \) における最大値を求めよ。

解法

1)
$$\begin{align}&3\lbrace x^2-\frac{2}{3}\left( a+1\right)x\rbrace +a^2-a \\\\ =&3\lbrace x-\frac{1}{3}\left( a+1\right)\rbrace^2+\frac{1}{3}\left( 2a^2-5a-1\right) \end{align}$$
ゆえに軸は、\( \ x=\displaystyle\frac{1}{3}\left( a+1\right) \ \)


2)
\( \ a=5 \ \) のときの放物線の式を \( \ f\left( x\right) \ \)とする。
\( \ f\left( x\right)=3\left( x-2\right)^2+8 \ \) となる。
最大値は\( \ f\left( 1\right) \ \)のとき、
最小値は \( \ f\left( 2\right) \ \)のとき。
ゆえに
最大値 \( \ 11 \ \) (\( \ x=1 \ \)のとき) 最小値 \( \ 8 \ \) (\( \ x=2 \ \)のとき)


3)
式変形をして、軸の位置を特定する。
$$\begin{align}a \leqq &2 \\\\ \frac{1}{3}\left( a+1\right) \leqq &\frac{1}{3}\left( 2+1\right) \\\\ \frac{1}{3}\left( a+1\right) \leqq &1 \end{align}$$ 軸が定義域の左端を含めた左側にあるので、最小値 \( \ 11 \ \)を取るのは \( \ f\left( 1\right) \ \) のとき。
$$\begin{align}f\left( 11\right)=a^2-3a+1=&11 \\\\ a^2-3a-10=&0 \\\\ \left( a-5\right)\left( a+2\right)=&0\\\\ a=&5 \ , \ -2 \end{align}$$ ただし、\( \ a \leqq 2 \ \) より、 \( \ a=-2 \ \)

最大値は \( \ f\left( 2\right) \ \) のとき。
\( \ f\left( 2\right)=a^2-5a+8 \ \)


4)
式変形をして軸の位置を特定する。
$$\begin{align}2 \leqq &a \leqq \frac{7}{2} \\\\ 3 \leqq &a+1 \leqq \frac{9}{2} \\\\ 1 \leqq &\frac{1}{3}\left( a+1\right) \leqq \frac{3}{2} \end{align}$$
① \( \ 1 \leqq \displaystyle\frac{1}{3}\left( a+1\right) \lt \displaystyle\frac{3}{2} \ \) のとき、最大値は \( \ f\left( 2\right) \ \)のとき。
\( \ f\left( 2\right)=a^2-5a+8 \ \)

② \( \ \displaystyle\frac{1}{3}\left( a+1\right)=\displaystyle\frac{3}{2} \ \) のとき、最大値は \( \ f\left( 1\right) \ \) と \( \ f\left( 2\right) \ \) のとき。
\( \ f\left( 1\right)=a^2-3a+1 \ \)
\( \ f\left( 2\right)=a^2-5a+8 \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74