高校数学の「ちょっと難しそうな合同式」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「ちょっと難しそうな合同式」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ m \ \)は\( \ 7 \ \)で割れば\( \ 3 \ \)余る整数で、\( \ n \ \)は\( \ 7 \ \)で割れば\( \ 4 \ \)余る整数とする。このとき、
1） \( \ m+2n \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは（ア）である。
2） \( \ mn \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは（イ）である。
3） \( \ n^3 \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは（ウ）である。
4） \( \ n^{2001} \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは（エ）である。
1） \( \ m+2n \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは（ア）である。
2） \( \ mn \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは（イ）である。
3） \( \ n^3 \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは（ウ）である。
4） \( \ n^{2001} \ \) を\( \ 7 \ \)で割ると余りは（エ）である。
解法
1) \( \ {m+2n} \equiv {3+8} \equiv {11} \equiv {4} \pmod {7} \ \)2) \( \ {mn} \equiv {3\times 4} \equiv {12} \equiv {5} \pmod {7} \ \)
3) \( \ {n^3} \equiv {4^3} \equiv {64} \equiv {1} \pmod {7} \ \)
4) \( \ {n^{2001}} \equiv {n^{3\times 667}} \equiv {1^{667}} \equiv {1} \pmod {7} \ \)
こたえ
ア）\( \ 4 \ \)イ）\( \ 5 \ \)
ウ）\( \ 1 \ \)
エ）\( \ 1 \ \)
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