「西暦2345年の元日は何曜日?」問題を解いてみる。(その1)

2022年2月23日数列,整数の性質Excel&Spreadsheet

『「西暦2345年の元日は何曜日?」問題を解いてみる。(その1)』のアイキャッチ画像
読了時間: 約251

Google Alertsに「西暦2345年の元日は何曜日?」という表示があったので、問題を解いてみました。

ただし、うるう年には厳格な規定があったので、この記事では、そこを修正した解法を載せています。

西暦2345年の元日は何曜日? 計算する方法を考えよう

西暦Y年はうるう年?

西暦Y年がうるう年かどうかは以下の3つの基準で判定できます。
基準1:Yが400の倍数の年はうるう年である。
西暦400年、800年、1200年、1600年、2000年、2400年( \ \cdots\cdots \ )

基準2:Yが100の倍数であって、400の倍数でない年は平年である(うるう年でない)。
西暦100年、200年、( \ \cdots\cdots \ )1900年、2100年、2200年、2300年、2500年( \ \cdots\cdots \ )

基準3:Yが4の倍数であって、100の倍数でない年はうるう年である。
西暦4年、8年、( \ \cdots\cdots \ )96年、( \ \cdots\cdots \ )2004年、2008年、( \ \cdots\cdots \ )2020年、2024年、( \ \cdots\cdots \ )2344年、( \ \cdots\cdots \ )

Lukia_74

Lukia

この問題を解くまで、4の倍数の年がうるう年なのだと思っていましたが、これは私がたまたま20世紀と21世紀に生きていたからなんですね。
うるう年といえば(夏季)オリンピック!と連想されますが、あれは4の倍数の年に行う。という理解でいいんでしょうね。だから、2100年はうるう年じゃないけど、オリンピックはあることになります。(平年だからない。なんてことになれば、選手がかわいそうですもんね)

1年で曜日は何日増える?

この問題を解きはじめるとき、「2022年の元日は土曜日」だったことはわかっていました。

また、感覚的に元日の曜日は、あれこれ変わるのがわかっていたので、
ある平年の元日から翌年の元日まで何日増えるのかを調べることにしました。

( \ 365\div7=52\cdots1 \ ) 
平年は52週と1日だということがわかります。
余りを求める式ならば、以下のようにも表せますね。
( \ {365} \equiv {1} \pmod {7} \ )

これにより、平年の元日から翌年の元日まで1日増えるとわかります。
2022年(平年)の元日は土曜日ですから、2023年(平年)の元日は日曜日、2024年の元日は月曜日ということになります。

さらに、( \ 366\div7=52\cdots2 \ )
( \ {366} \equiv {2} \pmod {7} \ ) より、
うるう年の元日から翌年(平年)の元日までは、2日増えます。
つまり、2025年の元日は水曜日ということになります。

曜日を数字で表しておく

ここで、曜日を数字で表すことにします。
表計算ソフトにならって、
以下のようにしました。

曜日 数字(mod7)
日曜日 1
月曜日 2
火曜日 3
水曜日 4
木曜日 5
金曜日 6
土曜日 0

たとえば、2022年の元日は、土曜日でしたから、
( \ {7} \equiv {0} \pmod {7} \ ) より、0と表せます。

平年の元日から翌年の元日は1日増えるので、
2023年(平年)の元日は ( \ 0+1=1 \ ) より日曜日となります。
また、2020年の元日から2021年の元日までは2日増え、2021年の元日から2022年の元日までは1日増えているので、
2022年の元日の曜日から3日引けば、2020年の元日の曜日がわかることになります。
( \ 7-3=4 \ )

つまり、2020年の元日は水曜日だとわかります。

4年で何日増える?

「うるう年・平年・平年・平年」の4年を1セットとしたとき、何日増えるのかを計算してみました。
( \ 2+1+1+1=5 \ )
4年毎に5日増えることになります。

2020年の元日は水曜日(数字は4)でしたので、
2024年の元日は、
( \ {4+5=9} \equiv {2} \pmod {7} \ )
数字2は月曜日のことですから、2024年の元日は月曜日ということになります。

レモンのライン

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー

2022年2月23日数列,整数の性質Excel&Spreadsheet

Posted by Lukia_74