高校数学の「合同式」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「合同式」に関する問題を解いてみました。
問題
2つの整数\( \ a,b \ \)について、\( \ a \ \)を\( \ 12 \ \)で割ると\( \ 7 \ \)余り、\( \ b \ \)を\( \ 12 \ \)で割ると\( \ 10 \ \)余る。このとき\( \ a \ \)を\( \ 4 \ \)で割ったときの余りは（ア）であり、\( \ a-b \ \)を\( \ 12 \ \)で割ったときの余りは（イ）である。また、\( \ a^2b^2 \ \)を\( \ 12 \ \)で割ったときの余りは（ウ）である。〔19 北里大〕
解法
ア）\( \ {a} \equiv {7} \pmod {12} \ \)より
\( \ {a} \equiv {7} \equiv {3} \pmod {4} \ \)
イ）
\( \ {a-b} \equiv {-3} \equiv {9} \pmod {12} \ \)
ウ）
\( \ {a^2} \equiv {49} \equiv {1} \pmod {12} \ \)
\( \ {b^2} \equiv {100} \equiv {4} \pmod {12} \ \)
ゆえに
\( \ {a^2b^2} \equiv {1\times 4} \equiv {4} \pmod {12} \ \)
こたえ
ア） \( \ 3 \ \)イ） \( \ 9 \ \)
ウ） \( \ 4 \ \)
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