【 11 / 12 】高校数学の「平面ベクトルの点Pの存在範囲」に関する問題を解いてみる。

2021年9月16日2023年1月11日ベクトル実用数学技能検定（数学検定数検),数検2級,数検準1級

読了時間: 約2分20秒

[mathjax]

問題

$ \ \triangle \mathrm{OAB} \ $について点$ \ \mathrm{P} \ $が
$ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left( s-t\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\left( s+t\right)\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ $
と $ \ s=1, \ , \ 0 \leq t \leq 2 \ $を満たしながら動くとき、
点$ \ \mathrm{P} \ $の存在範囲を示せ。
（ただし$ \ s \ $ , $ \ t \ $ はともに実数とする）

解法

$ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left( s-t\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\left( s+t\right)\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ $に
$ \ s=1 \ $を代入して
$ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left( 1-t\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\left( 1+t\right)\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ $
$ \ 0 \leq t \leq 2 \ $

$$\begin{align}0 \leq &t \leq 2 \\\\ -2 \leq &t \leq 0 \\\\ 1-2 \leq &1-t \leq 1\\\\ -1 \leq &1-t \leq 1 \end{align}$$ $ \ 1-t=k \ $として
$ \ -1 \leq k \leq 1 \ $

$$\begin{align}0 \leq &t \leq 2 \\\\ 1 \leq &1+t \leq 3 \end{align}$$ $ \ 1+t=l \ $として
$ \ 1 \leq l \leq 3 \ $

以上より、
$ \ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OA}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}} \ $
（ $ \ -1 \leq k \leq 1 \ $ , $ \ 1 \leq l \leq 3 \ $ ）

$ \ kl \ $平面において、
$ \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert=1 \ $ （$ \ k=1 \ $）、
$ \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert=1 \ $ （$ \ l=1 \ $）とすると、

点$ \ \mathrm{P} \ $の存在範囲は、
四角形$ \ \mathrm{CDEF} \ $の周上とその内部である。

Lukia

ベクトルと考えるから難しいのであって、 $ \ s \ $と$ \ t \ $に関する領域の問題。と考えればよいのではないかな。と思っています。
式変形はできたほうがいいに決まっていますが、この領域の問題。という考え方を確かめる術にしながら、式変形の練習をしていくのが習得の近道になるかも。

こたえ

点$ \ \mathrm{P} \ $は四角形$ \ \mathrm{CDEF} \ $ の周上とその内部に存在する。

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プロフィール

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Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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