出会いと追い越しパターン 池の周りを回ってみる。【 14/21 】 中学数学の速さ・時間・距離に関する問題

2021年7月1日池の周りを回ってみる実用数学技能検定(数学検定 数検),数検3級

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問題
【 14/21 】 池を一周するのに走太郎は60分、カケルは100分かかります。
同じ場所から同時に出発して反対向きに走ると二人は何分後にはじめてすれちがいますか。
また同じ場所から同時に出発して同じ向きに走ると走太郎は何分後にカケルを追いこしますか。
ポイント説明のライン
Lukia_74
Lukia
池のある地点から二人が反対方向へ進んでしばらくして出会う。というのは、
それぞれが一定時間進んだ距離の和が、池の長さに等しいということを表しています。
また、池のある地点から二人が同じ方向へ進んで、その後追い越されるということは、
速い方と遅い方の進んだ距離の差が池の長さに等しいことを表しています。
「池の周りを回ってみる」問題の多くは、このパターンが多いです。
解法を示すライン 速さ・時間・距離の関係をまとめた図
走太郎の速さを\( \ x \ \)m/分、カケルの速さを\( \ y \ \)m/分とする。
池を一周するのに走太郎が\( \ 60 \ \)分、カケルは\( \ 100 \ \)分かかるから、
池の周囲は \( \ 60x=100y \ \) と表せる。
また、上の式より、
カケルの速さを \(\Large y=\frac{3}{5}x\)m/分 と表すことができる。

走太郎とカケルが出会う時間を\( \ t_1 \ \)分後とする。
走太郎が\( \ t_1 \ \)分間で進んだ距離とカケルが\( \ t_1 \ \)分間で進んだ距離の和が\( \ 60x \ \)mだから
$$\begin{align}t_1x+t_1y=&60x\\\\ t_1x+t_1\times \frac{3}{5}x=&60x\\\\ t_1\cdot \frac{8}{5}x=&60x\\\\ x \gt 0&より\\\\ t_1=&60\times \frac{5}{8}\\\\ =&\frac{75}{2} \end{align}$$
また、走太郎がカケルを追い越す時間を\( \ t_2 \ \)分後とする。
走太郎が\( \ t_2 \ \)分間で進んだ距離とカケルが\( \ t_2 \ \)分間で進んだ距離の差が\( \ 60x \ \)mだから
$$\begin{align}t_2x-t_2y=&60x\\\\ t_2\left( x-\frac{3}{5}x\right)=&60x\\\\ \\\\ t_2x=&60\times \frac{5}{2}x\\\\ \\\\ ここで、x \gt 0&より\\\\ t_2=&150 \end{align} $$こたえを示すライン
走太郎とカケルが出会う時間:\(\Large \frac{75}{2}\)分後
走太郎がカケルを追い越す時間:\( \ 150 \ \)分後
レモンのライン 「池の周りを回ってみる」シリーズは、2021年現在21記事あります。
まとめページにて同様の問題を探し、うでだめしをしてみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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