三角関数の値の大小関係(その3)【大学入学共通テスト2023年数学ⅡB】

\( \ 0 \leqq x \leqq \pi \ \) のとき、\( \ \sin 3x \gt \sin 4x\quad \cdots \ {\rm{ⅰ}} \ \) かつ \( \ \sin 4x \gt \sin 2x\quad \cdots \ {\rm{ⅱ}} \ \) が成り立つ \( \ x \ \) の範囲を求める。
(ⅰ)
(3)より、
\( \ \displaystyle\frac{ \pi }{ 7 } \lt x \lt \displaystyle\frac{3}{7}\pi \ , \ \displaystyle\frac{5}{7}\pi \lt x \leqq \pi \ \)
(ⅱ)
\( \ 2x=X \ \) とする。
\( \ \sin 4x-\sin 2x \gt 0 \ \)
\( \ \sin 2X-\sin X=2\sin X\left( 2\cos X-1\right) \gt 0 \ \)
\( \ 0 \leqq x \leqq \pi\displaystyle \ \)
\( \ 0 \leqq 2x \leqq 2\pi \ \)
\( \ 0 \leqq X \leqq 2\pi \ \)
(2)より
\( \ 0 \lt X \lt \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 } \ , \ \pi \lt X \lt \displaystyle\frac{5}{3}\pi \ \)
すなわち
\( \ 0 \lt x \lt \displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } \ , \ \displaystyle\frac{ \pi }{ 2 } \lt x \lt \displaystyle\frac{5}{6}\pi \ \)
(ⅰ)と(ⅱ)より
\( \ \displaystyle\frac{ \pi }{ 7 } \lt x \lt \displaystyle\frac{ \pi }{ {\color{#0004fc}{6}} } \ , \ \displaystyle\frac{5}{7}\pi \lt x \lt \displaystyle{\color{#0004fc}{\frac{5}{6}}}\pi \ \)

Lukia
\( \ \sin 3x \gt \sin 4x \gt \sin 2x \ \) をふたつの不等式に分けられるかどうかにかかっていますね。その後、
(ⅰ)は(3)の否定、
(ⅱ)は、\( \ 2x=X \ \) とおけば、(2)をそっくり使って解くことができます。
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