指数と対数（その2）【大学入学共通テスト2021年数学ⅡB】
（A）〜（D）について、\( \ \beta=2\alpha \ \) として調べてみる。
（A)
$$\begin{align}f\left( \alpha-\beta\right)=&f\left( \alpha-2\alpha\right)\\\\ =&f\left( \alpha\right) \neq {\rm{右辺}} \end{align}$$ ゆえに式（A)は成り立たない。
（C)
$$\begin{align}g\left( \alpha-\beta\right)=&g\left( \alpha-2\alpha\right)\\\\ =&g\left( -\alpha\right) \neq {\rm{右辺}} \end{align}$$ ゆえに式（C)は成り立たない。
（B)
左辺について
$$\begin{align}f\left( 3\alpha\right)=\frac{2^{3\alpha}+2^{-3\alpha}}{2}=&\frac{\left( 2^\alpha+2^{-\alpha}\right)^3-3\left( 2^\alpha+2^{-\alpha}\right)}{2} \\\\ =&4\lbrace f\left( \alpha\right)\rbrace^3-3f\left( \alpha\right) \end{align}$$ 右辺について
$$\begin{align}f\left( \alpha\right)f\left( 2\alpha\right)+g\left( \alpha\right)g\left( 2\alpha\right)=&f\left( \alpha\right)\lbrace 2\lbrace f\left( \alpha\right)\rbrace^2-1\rbrace+g\left( \alpha\right)\times 2f\left( \alpha\right)g\left( \alpha\right) \\\\ =&2 \lbrace f\left( \alpha\right)\rbrace^3-f\left( \alpha\right)+2f\left( \alpha\right)\lbrace g\left( \alpha\right)\rbrace^2 \\\\ =&2 \lbrace f\left( \alpha\right)\rbrace^3-f\left( \alpha\right)+2f\left( \alpha\right)\lbrace \lbrace f\left( \alpha\right)\rbrace^2-1\rbrace\\\\ =&4\lbrace f\left( \alpha\right)\rbrace^3-3f\left( \alpha\right) ={\rm{左辺}}\end{align}$$ ゆえに式（B)は成り立つ。
以上より式（A)〜(D)のうち、（B）以外の三つは成り立たないことがわかる。
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