高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。（その6）

2018年9月9日2023年1月15日数と式実用数学技能検定（数学検定数検),数検準2級

読了時間: 約4分51秒

[mathjax]
自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生？恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今日の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

ディノ

ぷは～、うまかったなぁ。パフェ。

Lukia

ディノさん、お腹がいっぱいです。。。

ディノ

でも、なんだかんだ言って、
抹茶パフェ、食ってたじゃねぇかよ。
うまかったんだろ？

Lukia

たしかに。
でも、不思議なことに、問題解いてお店に向かったら、あれほど胃もたれしてたのに、
お腹空いてましたね。
なんですか、ここはそういう設定ですか？

ディノ

んまぁ、よくわかんないが、そういう設定だ。
というわけで、今回も問題解けば、腹が減って、次のうまいもん食いに行けるってことだ。

Lukia

ふぇいふぇい。
（食べ物でしばらく釣る気だな・・・）

問題

$$\Large \color{blue}{\vert x-2 \vert}+\color{red}{\vert \frac{x}{3}-2 \vert}=2$$

簡単な図を描こう。

Lukia

さて、今回も以下のような図を使います。
計算のスペースが必要になるので、グラフの下はあけておいてくださいね。

範囲を設定しよう。

Lukia

ディノさん、もう慣れてきたと思いますので、
二つのV字グラフが、$x$軸と交わるときの$x$の値を求めてください。

ディノ

任せとけ！
まず、$\color{blue}{\vert x-2 \vert=0}$となるのは、
$x=\color{blue}{2}$のときで、

ディノ

$\color{red}{\vert \frac{x}{3}-2 \vert=0}$となるのは、
$x=\color{red}{6}$のときだな。

Lukia

そうですね。
というわけで、図に範囲などを書き込んでおきます。
以下のような図になりますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

ディノ

次の手順は、覚えたぞ。
範囲ごとに式を書き込んでいくんだ。
まず、青いグラフから片付けるとして・・・
$\color{blue}{y=\vert x-2 \vert}$は、
$y=\color{blue}{-x+2}$　$\left( \color{blue}{x \leq 2}　のとき\right)$
$y=\color{blue}{x-2}$　$\left( \color{blue}{2 \leq x}　のとき\right)$　だから、
それらを範囲に合うように書き込めばいいんだったよな。

Lukia

はい。そして・・・

ディノ

オマエ、腹いっぱいでしゃべれねぇだろうから、
オレがやってやる。
赤いグラフも同じようにやればいいんだから、
$\color{red}{y=\vert \frac{x}{3}-2 \vert}$は、
$y=\color{red}{-\frac{x}{3}+2}$　$\left( \color{red}{x \leq 6}　のとき\right)$
$y=\color{red}{\frac{x}{3}-2}$　$\left( \color{red}{6 \leq x}　のとき\right)$　となって、
やっぱりこれも、範囲に合うように書き込むんだったよな。
どうだ、できたぞ。

Lukia

ご配慮、いたみいります。
（ああ、こういうパターン以前にもありましたねぇ・・・。
ももちゃん、どうしてるかな・・・）

筆算する。

Lukia

ディノさん、順調に手順を踏んでますね。
というわけで、次にやるのは・・・

ディノ

筆算だ！
二つの絶対値は、+（プラス）でつながれているから、
たし算の筆算をすればいいんだったよな。
・・・
できたぞ！

Lukia

なるほど。
左が、$\frac{4}{3}x+4$
真ん中が、$\frac{2}{3}x$
右が　$\frac{4}{3}x-4$になるんですね。

グラフを描くとこうなる。

Lukia

ちなみに、ディノさんが筆算で導き出した三つの式をグラフにすると、
以下のようになります。

方程式を解く。

Lukia

さて、ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、=2　をつけて、方程式を解いてみましょう。

ディノ

じゃ、左の範囲の方程式をオレが解く。
$\frac{4}{3}x+4=2$　を解くと
$x=\frac{3}{2}$　とわかる。

Lukia

では、真ん中の範囲の方程式は、私が解きましょう。
$\frac{2}{3}x=2$　を解いて、
$x=3$　が答えとなりますね。

ディノ

じゃ、右の範囲の方程式は、オレだな。
$\frac{4}{3}x-4=2$　を解けばいいんだから、
、$x=\frac{9}{2}$　が答えだ。

範囲を比較して答えを出す。

Lukia

三つの範囲の方程式の解を、実際に$x$軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、$x$軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
真ん中の範囲の解は、紫の四角で囲み、$x$軸には、紫の矢印で、だいたいの位置を示します。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、$x$軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。
すると、以下のようになるのですが、ディノさん、いかがですか？