高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。（その5）

2018年9月8日2023年1月15日数と式実用数学技能検定（数学検定数検),数検準2級

読了時間: 約4分46秒

[mathjax]
自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生？恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今日の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

ディノ

いや～、肉、うまかったなぁ。

Lukia

ぞ、ぞうでづね・・・

ディノ

やっぱ、「いきなり焼肉」、うまいだろ？

Lukia

なんですか、そのフューチャリングした店名はっ。
怒られますよ？
というか、いつもあんなサイズのお肉、食べてるんですか？

ディノ

若いから食っとかないとな。（笑）
タンパク質取らないと、頭がはたらかねぇんだぞ。
というわけで、今、オレの頭、調子いいぞ。
一問いっとくか？

Lukia

うひぃ・・・
ひとまず、胃腸薬ください・・・

私の胃のことなんておかまいなし。
ディノさんは、人の話を聞かずに、問題を見せました。

問題

$$\Large \color{blue}{\vert 2x \vert}+\color{red}{\vert x-2 \vert}=6$$

簡単な図を描こう。

Lukia

前回と同様、式の中に絶対値が2つ存在しているので、
上のような簡単な図を描いて、それを用いて問題を解いていきます。

ディノ

おう。
そして、グラフの下が計算スペースになるから、あけとくんだったよな。

Lukia

そうですね。

範囲を設定しよう。

Lukia

絶対値が絡む問題は、まずは範囲がどうなっているのかを把握してやる必要があります。
というわけで、青と赤のV字の起点、つまり、$x$軸と交わっているのは$x$がいくつのときかを求めていきましょう。

ディノ

オレ、コレわかる。
$\color{blue}{\vert 2x \vert=0}$となるのは、
$x=\color{blue}{0}$のときで、
$\color{red}{\vert x-2 \vert=0}$となるのは、
$x=\color{red}{2}$のときだ。

Lukia

そうですね。
つまり、これによって、図の緑の点線によって3分割されている範囲が、
左が、$x \leq 0$
真ん中が、$0 \leq x \leq 2$
右が、$2 \leq x$となりますね。
図は以下のようになりますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

ディノ

範囲がわかると、式の正負も考えやすいよな。

Lukia

そうですね。
・・・ディノさん、図に式を書き込んでもらえますか？
私、今しゃべるの無理です・・・。

ディノ

おう、いいぞ。
まず、青いほうから片付けるかな。
$\color{blue}{y=\vert 2x \vert}$は、
$y=\color{blue}{-2x}$　$\left( \color{blue}{x \leq 0}　のとき\right)$
$y=\color{blue}{2x}$　$\left( \color{blue}{0 \leq x}　のとき\right)$だ。

Lukia

つぶぅけて・・・

ディノ

$\color{red}{y=\vert x-2 \vert}$は、
$y=\color{red}{-x+2}$　$\left( \color{red}{x \leq 2}　のとき\right)$
$y=\color{red}{x-2}$　$\left( \color{red}{2 \leq x}　のとき\right)$だ。

Lukia

わかった式を図に書き込むと、以下のようになりますね。

筆算する。

Lukia

ここまでできたら、今回の問題は、2つの絶対値が+（プラス）でつながっているので、
たし算の筆算をします。

ディノ

左が、$-3x+2$
真ん中が、$x+2$
右が　$3x-2$になるよな。

Lukia

はい。
図には、このように書き込めばよいですね。

グラフを描くとこうなる。

Lukia

さて、絶対値をはずして、それぞれの範囲ごとに筆算をした結果をグラフにすると、
以下のような図になります。

ディノ

なんか、オレの歯みたいな形してんな。

方程式を解く。

Lukia

ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、=6　をつけて、方程式を解いてみましょう。

ディノ

ってことは、
左から、$-3x+2=6$
$x+2=6$
$3x-2=6$を解けばいいってことだな。

Lukia

そうですね。

ディノ

ということは、
左の範囲は、$x=-\frac{4}{3}$
真ん中の範囲は、$x=4$
右の範囲は、$x=\frac{8}{3}$だな。

範囲を比較して答えを出す。

Lukia

方程式の解を、実際に$x$軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、$x$軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
真ん中の範囲の解は、紫の四角で囲み、$x$軸には、紫の矢印で、だいたいの位置を示します。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、$x$軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。