中学生のデジタルデバイス事情を探る【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

2022年8月11日SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

ある中学校の生徒\( \ 120 \ \)人について、携帯電話、パソコンおよびデジタルカメラの3種類の機器の所有状況を調べたところ次のア〜エのことがわかった。
ア 携帯電話を所有している生徒は\( \ 54 \ \)人、パソコンを所有している生徒は\( \ 42 \ \)人、デジタルカメラを所有している生徒は\( \ 34 \ \)人である。
イ 携帯電話とパソコンの両方の機器を所有している生徒は\( \ 21 \ \)人、パソコンとデジタルカメラの両方の機器を所有している生徒は\( \ 17 \ \)人である。
ウ 携帯電話、パソコンおよびデジタルカメラの3種類の機器すべてを所有している生徒は\( \ 6 \ \)人である。
エ 携帯電話、パソコンおよびデジタルカメラの3種類の機器のいずれも所有していない生徒は\( \ 36 \ \)人である。

以上から判断して、携帯電話、パソコンおよびデジタルカメラの3種類の機器のうち、いずれか1種類の機器だけを所有している生徒の合計の人数を求めよ。

解法

全体集合(中学生の総数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件X(携帯電話を所有)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件Y(パソコンを所有)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件Z(デジタルカメラを所有)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図



  $$\mathrm{XY}$$ $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ $$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$ \( \ a \ \) \( \ b \ \) \( \ c \ \) \( \ d \ \)
 $$6$$      
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ \( \ e \ \) \( \ f \ \) \( \ g \ \) \( \ h \ \)
       $$36$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 120\\ \mathrm{X} =54 \\\mathrm{Y} = 42\\\mathrm{Z} =34 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=130 \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =84 \end{array} \right. \end{eqnarray}

3種類のうちいずれか1種だけを持っている人の合計は、\( \ d+f+g \ \) で表せる。
特に, \( \ \alpha=b+c+e \ \), \( \ \beta=d+f+g \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a+2\alpha+\beta =130 \quad \cdots \ ① \\ a+\alpha+\beta =84 \quad \cdots \ ② \end{array} \right. \end{eqnarray} ①と②に\( \ a=6 \ \)を代入して整理する。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2\alpha + \beta = 112 \\ \alpha + \beta = 78 \end{array} \right. \end{eqnarray} この連立方程式を解いて、
\( \ \beta=44 \ \)

こたえ

\( \ 44 \ \)人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。



 

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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