クラブ活動で青春を謳歌しよう【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

\( \ 150\ \)人の生徒が、\( \ \mathrm{X} \ \)、\( \ \mathrm{Y} \ \)、\( \ \mathrm{Z} \ \)のクラブの1つまたは2つに必ず入っている。
また、3つのクラブに入っている生徒はいない。
\( \ \mathrm{X} \ \)、\( \ \mathrm{Y} \ \)、\( \ \mathrm{Z} \ \)のクラブ員の数は、それぞれ\( \ 84\ \)人、\( \ 66\ \)人、\( \ 60\ \)人で、\( \ \mathrm{X} \ \)、\( \ \mathrm{Y} \ \)の2つに入っている人は\( \ 30\ \)人、\( \ \mathrm{X} \ \)、\( \ \mathrm{Z} \ \)の2つに入っている人は\( \ 20\ \)人であるとき、
1) \( \ \mathrm{Y} \ \)、\( \ \mathrm{Z} \ \)の両方に入っている人は何人か。
2) 1つのクラブだけに入っている人は何人か。

解法

全体集合(生徒数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(クラブ\( \ \mathrm{X} \ \)に入っている)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(クラブ\( \ \mathrm{Y} \ \)に入っている)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(クラブ\( \ \mathrm{Z} \ \)に入っている)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図

XとYに入っている人数を求める


\( \ \mathrm{Y} \ \)と\( \ \mathrm{Z} \ \)のクラブに入っている人の数を\( \ x \ \)とする。 3つのクラブに入っている人、また、どのクラブにも入っていない人もいないので、
\( \ a=0, h=0 \ \) である。
\( \ \mathrm{X}\cap\mathrm{Y}=a+e=30 \ \) より \( \ e=30 \ \)
\( \ \mathrm{X}\cap\mathrm{Z}=a+b=20 \ \) より \( \ b=30 \ \)
\( \ \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z}=a+c=x \ \) より \( \ c=x \ \)
  $$\mathrm{XY}$$ $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ $$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$ \( \ a \ \) \( \ b \ \) \( \ c \ \) \( \ d \ \)
 $$0$$  $$20$$  $$x$$  
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ \( \ e \ \) \( \ f \ \) \( \ g \ \) \( \ h \ \)
 $$30$$     $$0$$ 

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 150\\ \mathrm{X} =84 \\\mathrm{Y} =66 \\\mathrm{Z} =60 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=210 \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =150 \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha=b+c+e \ \), \( \ \beta=d+f+g \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a+2\alpha+\beta =210 \quad \cdots \ ① \\ a+\alpha+\beta =150 \quad \cdots \ ② \end{array} \right. \end{eqnarray} ①-②より
$$\begin{align}2a+\alpha=&60 \\\\ a=&0 \ \rm{より} \\\\ \alpha=b+c+e=&60\\\\ 20+x+30=&60\\\\ x=&10 \end{align}$$

1つのクラブに入っている人数を求める

1つのクラブに入っている人の人数は、\( \ \beta=d+f+g \ \) で表せる。
また、(1) より\( \ \alpha=b+c+e=60 \ \) とわかっているので、
②より
$$\begin{align}a+\alpha+\beta=&150 \\\\ 0+60+\beta=&150 \\\\ \beta=&90 \end{align}$$

こたえ

1) \( \ 10 \ \) 人
2) \( \ 90 \ \) 人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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