【 46 】論理と集合「必要条件と十分条件の判定問題」を解いてみる。

2021年9月23日2023年1月11日集合と論理

読了時間: 約3分9秒

[mathjax]

問題

次の（　　　　）内にあてはまるものを、下の(ア）～（エ）のうちから一つ選べ。
\( \ a \ \) , \( \ b \ \) は実数とする。
\( \ \angle \mathrm{A} \lt 90^{\circ} \ \)は\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)が鋭角三角形となるための（　　　　）。

（ア）　必要十分条件である
（イ）　必要条件であるが十分条件ではない
（ウ）　十分条件であるが必要条件ではない
（エ）　必要条件でも十分条件でもない

NS判定問題における恩師沖田一希先生

この「必要条件と十分条件の判定問題」シリーズは、
東進衛星予備校の沖田一希先生との出会いがなかったら実現しませんでした。
以下の記事には、沖田一希先生の御紹介と問題の考え方を示しています。

NS判定問題における恩師沖田一希先生 ~必要条件と十分条件の判定問題シリーズ~

NS判定問題における恩師沖田一希先生苦手だったこの分野の理解を一気に深めさせてくださったのが、 ...

https://makelemonadejp.com/necessary-or-sufficient-okita

解法

主語(N:必要）を考える

主語(N:必要)は、「\( \ \angle \mathrm{A} \lt 90^{\circ} \ \) 」です。

\( \ \angle \mathrm{A} \lt 90^{\circ} \ \)を満たす場合の数は7通りはあります。

\( \ \angle \mathrm{A} \lt 90^{\circ} \ \)	\( \ \angle \mathrm{A} \ \)が最大角	\( \ \angle \mathrm{A} \lt 90^{\circ} \ \)	鋭角三角形
	\( \ \angle \mathrm{B} \ \)が最大角（Aが最大角でない）	\( \ \angle \mathrm{B} \lt 90^{\circ} \ \)	鋭角三角形
		\( \ \angle \mathrm{B}=90^{\circ} \ \)	直角三角形
		\( \ \angle \mathrm{B} \gt 90^{\circ} \ \)	鈍角三角形
	Cが最大角（Aが最大角でない）	\( \ \angle \mathrm{C} \lt 90^{\circ} \ \)	鋭角三角形
		\( \ \angle \mathrm{C}=90^{\circ} \ \)	直角三角形
		\( \ \angle \mathrm{C} \gt 90^{\circ} \ \)	鈍角三角形

述語(S:十分）を考える

国語的には、厳密な述語は「○○条件である」の部分ですが、
この述語を修飾（詳しく説明）する「 \( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)が鋭角三角形（ための）」を
述語(S:十分）としておきます。
鋭角三角形の定義は、「最大角が\( \ 90^{\circ} \ \)よりも小さい三角形」ですから、
\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \)が鋭角三角形というだけでは、
どの角が最大角になるかはわかりません。

\( \ \triangle \mathrm{ABC} \ \) が鋭角三角形	最大角\( \ \angle \mathrm{A} \lt 90^{\circ} \ \)
	最大角\( \ \angle \mathrm{B} \lt 90^{\circ} \ \)
	最大角\( \ \angle \mathrm{C} \lt 90^{\circ} \ \)

包含関係より判定する

ここで、主語(N:必要）と述語(S:十分）の包含関係を考えてみます。
たとえるなら、パーとグーしか出せないじゃんけんをしているようなものです。
パー（紙）は、グー（石）を包み込んでしまいますね。

また、一方が他方を完全にもれなく包み込んでしまう場合のみ、必要条件や十分条件が成り立ちます。
逆にいうと、ひとつでも例外（もれ）があれば、必要条件も十分条件も成り立ちません。

いま、主語(N:必要）の要素の数は、\( \ 7 \ \)ですが、
一方、述語(S:十分）の要素の数は、\( \ 3 \ \)です。

さらに、数の多少ではなく、述語(S:十分）の要素が主語(N:必要）の要素に共通していることを確認してください。（多数決ではなく、包含関係を考えています）

すなわち、主語(N:必要）がパー（包み込む方）で、述語(S:十分）がグー（包み込まれる方）だといえます。

これは数学的には、
主語(N:必要）\( \ \supset\ \) 述語(S:十分）と表せます。

よって、答えは、「（イ）　必要条件であるが十分条件ではない」となります。