中学数学の「一次関数と図形」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS中学数学 , 一次関数と図形 , 数学検定3級

問題

problem

 

中学数学の「一次関数と図形」の問題に関する図
\( \ xy \ \)平面上に\( \ \triangle \mathrm{DBE} \ \)がある。
この\( \ \triangle \mathrm{DBE} \ \)は、\( \ \mathrm{BD}=\mathrm{BE} \ \)の直角二等辺三角形であるとする。
また、直線\( \ \mathrm{DB} \ \)は、\( \ y=x+4 \ \)で表される。
さらに、点\( \ \mathrm{B} \ \)からおろした垂線と\( \ x \ \)軸との交点を点\( \ \mathrm{C} \ \)とする。

四角形\( \ \mathrm{OABC} \ \)の面積が\( \ 24 \ \)であるとき、点\( \ \mathrm{E} \ \)の座標を求めよ。

わかっていることを書き出してみる。

Lukia_74

Lukia

直線\( \ \mathrm{DA} \ \)から点\( \ \mathrm{A} \ \)と点\( \ D \ \)の座標がわかりますね。

$$\begin{align}点\mathrm{A}は&y=x+4\quad の切片であるから \\ \mathrm{A}&\left( 0 \ , \ 4\right) \\ \\ 点\mathrm{D}の&x \ 座標を \ d \ とすると\\ &0=d+4\\ d=&-4\\ \mathrm{D}&\left( -4 \ , \ 0\right) \end{align}$$

台形の面積の公式を使おう。

Lukia_74

Lukia

直線\( \ y=x+4 \ \)によって、点\( \ \mathrm{A} \ \)と点\( \ \mathrm{D} \ \)の座標がわかったので、次に台形の面積公式を用いて、点\( \ \mathrm{B} \ \)と点\( \ \mathrm{C} \ \)を求めていきます。

$$\begin{align} 点\mathrm{B} \ の&x座標を \ b \ とおく. \\ \mathrm{B}&\left( b \ , \ b+4\right)\quad と表せる.\\ また \ \mathrm{C}&\left( b \ , \ 0\right) \quad である。 \end{align}$$
$$\begin{align}四角形\mathrm{OABC}の&面積を \ \mathrm{S} \ とする。 \\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\left( \mathrm{AO}+\mathrm{BC}\right)\times \mathrm{CO} \\ =&\frac{1}{2}\left( 4+b+4\right)\times b=24\\ &b^2+8b-48=0\\ &\left( b+12\right)\left( b-4\right)=0 \\ b=&-12 \ , \ b=4\\ \\ ただし、&図より \ b \gt 0 \ であるので\\ b=&4\\ \\ \mathrm{B}&\left( 4 \ , \ 8\right) \\ \mathrm{C}&\left( 4 \ , \ 0\right) \end{align}$$

二直線が垂直に交わるときの傾きの積は?

Lukia_74

Lukia

残すは点\( \ \mathrm{E} \ \)となりました。
この点\( \ \mathrm{E} \ \)の座標を求めるやり方は、式から攻めるルートと図形として攻めるルートがあると思います。
まずは、式から攻めるルートを書いてみます。
Lukia_74

Lukia

式から攻めるルートの場合、点\( \ \mathrm{B} \ \)の座標と、直線\( \ \mathrm{DA} \ \)の傾きが必要になります。

$$\begin{align}直線\mathrm{BE}&の切片を \ t \ とする。 \\ \triangle \mathrm{DBE}が&\mathrm{BD}=\mathrm{BE}の直角二等辺三角形であることより、 \\ 直線\mathrm{BE}&の傾きは、-1である.\\ y=&-x+t \ は点\mathrm{B}を通るから\\ 8=&-4+t\\ t=&12\\ y=&-x+12 \end{align}$$
$$\begin{align}点\mathrm{E}&のx座標を \ e \ とする.\\ 点\mathrm{E}は&直線\mathrm{BE}とx軸との交点であるので \\ 0=&-e+12 \\ e=&12 \\ \mathrm{E}&\left( 12 \ , \ 0\right) \end{align}$$

三角形の合同を用いる

Lukia_74

Lukia

私は最初、\( \ \triangle \mathrm{BCD} \ \)と\( \ \triangle \mathrm{BCE} \ \)を用いて、点\( \ \mathrm{E} \ \)の座標を求めたのですが、高校入試の場合は、きちんと合同を証明することまで求められる可能性があるので、めんどくさいというか、ちょっと時間をロスしてしまうかもしれません。

$$\begin{align}\triangle \mathrm{BCD}と&\triangle \mathrm{BCE}において \\ \mathrm{BD}=&\mathrm{BE} \\ \mathrm{BC}=&\mathrm{BC}\\ \angle \mathrm{DBC}=&\angle \mathrm{EBC}\quad より\\ &二辺とその挟角がそれぞれ等しいので,\quad \triangle \mathrm{BCD} \equiv \triangle \mathrm{BCE} \end{align}$$
$$\begin{align}辺\mathrm{CD}&の長さは \ 4-\left( -4\right)=8 \\ 辺\mathrm{EC}の&長さも8 \ であるので \\ 8=&e-4\\ e=&12\\ \mathrm{E}&\left( 12 \ , \ 0\right) \end{align}$$

こたえ

$$\mathrm{E}\left( 12 \ , \ 0\right)$$

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