Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「整数の性質」に関する問題を解いてみる。

2018年10月9日2023年1月15日整数の性質実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準2級

[mathjax]

(1) を解く。

$$\begin{align}2^{6n-5}+3^{2n}=&2^{6\left( n-1\right)\color{red}{+1}}+9^n
\\\\ =&\color{red}{2}\cdot \left( 2^6\right)^{n-1}+\color{blue}{9}\cdot 9^{n\color{blue}{-1}}
\\\\ =&2\cdot 64^{n-1}+9\cdot 9^{n-1} \end{align}$$
$$ここで、{64} \equiv {9} \pmod {11} より、$$
$$\begin{align}{2\cdot 64^{n-1}+9\cdot 9^{n-1}} &\equiv {2\cdot 9^{n-1}+9\cdot 9^{n-1}} \pmod {11}
\\\\ &\equiv {11\cdot 9^{n-1}} \pmod {11}
\\\\ &\equiv {0} \pmod {11} \ \\\\&以上より示せた。 \end{align}$$

(2) を解く。

$$\begin{align}4^{n\color{red}{+1}}+5^{2n\color{blue}{-1}}=&\color{red}{4}\cdot 4^n+\color{blue}{\frac{1}{5}}\cdot 5^{2n}
\\\\ =&\frac{1}{5}\left( 20\cdot 4^n+25^n\right) \end{align}$$
$$ここで、{25} \equiv {4} \pmod {21} より、$$
$$\begin{align}{\frac{1}{5}\left( 20\cdot 4^n+25^n\right)} \\\\&\equiv {\frac{1}{5}\left( 20\cdot 4^n+4^n\right)} \pmod {21} \\\\ &\equiv {\frac{1}{5}\cdot 21\cdot 4^n} \pmod {21} \\\\ &\equiv {0} \pmod {21}\ \\\\&以上より示せた。 \end{align}$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。