高校数学の「曲線と接線」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

微分と積分

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「曲線と接線」に関する問題を解いてみました。

問題

曲線 \( \ y=x^3-2x^2+1 \ \) について 点\( \ \mathrm{P}\left( 3 \ , \ 1\right) \ \)に関する接線をすべて求めよ。

解法

接点の\( \ x \ \)座標を \( \ t \ \) とおく。
ゆえに接点の座標は\( \ \left( t \ , \ t^3-2t^2+1\right) \ \) となる。
接線の方程式は、\( \ y=\left( 3t^2-4t\right)\left( x-t\right)+t^3-2t^2+1 \ \) である。
これが \( \ \mathrm{P}\left( 3 \ , \ 1\right) \ \)を通るから
\( \ -2t^3+11t^2-12t=0 \ \)
\( \ t\left( t-4\right)\left( -2t+3\right)=0 \ \)
\( \ t=0 \ , \ t=4 \ , \ t=\displaystyle\frac{3}{2} \ \)

1) \( \ t=0 \ \) のとき
\( \ y=1 \ \) 接点は\( \ \mathrm{A}\left( 0 \ , \ 1\right) \ \)

2) \( \ t=4 \ \) のとき
\( \ y=32x-95 \ \) 接点は\( \ \mathrm{C}\left( 4 \ , \ 33\right) \ \)
3) \( \ t=\displaystyle\frac{3}{2} \ \) のとき
\( \ y=\displaystyle\frac{3}{4}x-\displaystyle\frac{5}{4} \ \) 接点は\( \ \mathrm{B}\left( \displaystyle\frac{3}{2} \ , \ -\displaystyle\frac{1}{8}\right) \ \)

こたえ

$$\begin{align}y=&1 \\\\ y=&32x-95 \\\\ y=&\frac{3}{4}x-\frac{5}{4} \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74