高校数学の「階差型の漸化式」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「階差型の漸化式」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ a_1, \ a_{n+1}=3a_n+2n \ \left( n=1, \ 2, \ 3,\cdots\right) \ \) で定義される数列について
1）\( \ b_n=a_{n+1}-a_n \ \) とおいて、\( \ b_{n+1} \ \) を \( \ b_n \ \) を用いて表せ。
2) \( \ b_n \ \) を求めよ。
3）\( \ a_n \ \) を求めよ。
1）\( \ b_n=a_{n+1}-a_n \ \) とおいて、\( \ b_{n+1} \ \) を \( \ b_n \ \) を用いて表せ。
2) \( \ b_n \ \) を求めよ。
3）\( \ a_n \ \) を求めよ。
解法
1)$$\begin{align}b_{n+1}=&a_{n+2}-a_{n+1} \\\\ =&3a_{n+1}+2\left( n+1\right)-3a_n-2n \\\\ =&3a_{n+1}+2-3a_n\\\\ =&3\left( a_{n+1}-a_n\right)+2\\\\ =&3b_n+2 \end{align}$$
2)
$$\begin{align}b_{n+1}-\alpha=&3\left( b_n-\alpha\right) \\\\ \alpha=&-1 \\\\ \left( b_{n+1}+1\right)=&3\left( b_n+1\right) \\\\ \rm{ここで} c_n=&b_n+1 とおく。\\\\ \rm{特に} \ c_1=&b_1+1\\\\ =&a_2-a_1+1\\\\ =&3a_1+2\\\\ =&5\quad \rm{である}\\\\ c_n=&5\cdot 3^{n-1} \ \rm{より}\\\\ b_n=&5\cdot 3^{n-1}-1\end{align}$$
3)
$$\begin{align}a_n=&1+\sum_{k=1}^{n-1}{b_k} \quad \left( n \geqq 2\right)\\\\ =&1+\sum_{k=1}^{n-1}{5\cdot 3^{k-1}}-\left( n-1\right) \\\\ =&1+\frac{5\left( 3^{n-1}-1\right)}{3-1}-n+1\\\\ =&2-n+\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\frac{5}{2}\\\\ =&\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-n-\frac{1}{2} \end{align}$$ これは、\( \ n=1 \ \) のときも成り立つ。
こたえ
(1)\( \ b_{n+1}=3b_n+2 \ \)
(2)
\( \ b_n=5\cdot 3^{n-1}-1 \ \)
(3)
\( \ a_n=\displaystyle\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-n-\displaystyle\frac{1}{2} \ \)
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