高校数学の「等差数列と等比数列の積の和」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「等差数列と等比数列の積の和」に関する問題を解いてみました。
問題
次の和\( \ \mathrm{S}_n \ \)の一般項を求めよ。
\( \ \mathrm{S}_n=1+\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{3}{3^2}+\displaystyle\frac{4}{3^3}+\cdots+\displaystyle\frac{n}{3^{n-1}} \ \)
\( \ \mathrm{S}_n=1+\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{3}{3^2}+\displaystyle\frac{4}{3^3}+\cdots+\displaystyle\frac{n}{3^{n-1}} \ \)
解法
\( \ \mathrm{\mathrm{S}_n} \ \)は、\( \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k\cdot \left( \displaystyle\frac{1}{3}\right)^{k-1}} \ \) と書き換えられ、
等差数列 \( \ a_n=n \ \) と等比数列 \( \ b_n=\left( \displaystyle\frac{1}{3}\right)^{n-1} \ \) の積の和と考えられる。
あらためて、\( \ \mathrm{\mathrm{S}_n} \ \)は、
\( \ \mathrm{S}_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_{n-1}b_{n-1}+a_nb_n \ \) と表せる。
両辺を\( \ \displaystyle\frac{1}{3} \ \) 倍する。
\( \ \displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{S}_n=a_1\cdot \displaystyle\frac{1}{3}b_1+a_2\cdot \displaystyle\frac{1}{3}b_2+\cdots +a_{n-1}\cdot \displaystyle\frac{1}{3}b_{n-1}+a_n\cdot \displaystyle\frac{1}{3}b_n \ \)
\( \ \displaystyle\frac{1}{3}\mathrm{S}_n=a_1b_2+a_2b_3+\cdots +a_{n-1}b_n+a_nb_{n+1} \ \)
$$\begin{align}\mathrm{S}_n-\frac{1}{3}\mathrm{S}_n=&a_1b_1+\left( a_2-a_1\right)b_2+\cdots +\left( a_n-a_{n-1}\right)b_n-a_nb_{n+1}\\\\ =&a_1b_1+\sum_{k=2}^{n}{b_k}-a_nb_{n+1} \\\\ =&1+\lbrace \frac{1-\left( \frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}-1\rbrace -n\left( \frac{1}{3}\right) ^n\\\\ =&\frac{3}{2}\lbrace 1-\left( \frac{1}{3}\right)^n\rbrace -n\left( \frac{1}{3}\right)^n\\\\ \frac{2}{3}\mathrm{S}_n=&\frac{3}{2}-\left( n+\frac{3}{2}\right)\frac{1}{3^n}\\\\ \mathrm{S}_n=&\frac{9}{4}-\frac{3}{4}\left( 2n+3\right)\cdot \frac{1}{3^n}\end{align}$$
こたえ
\( \ \mathrm{S}_n=\displaystyle\frac{9}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}\left( 2n+3\right)\cdot \displaystyle\frac{1}{3^n} \ \)共有:
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