高校数学の「階差型の漸化式」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「階差型の漸化式」に関する問題を解いてみました。問題
\( \ a_1=1 \ \),\( \ a_{n+1}=2a_n-3n\quad \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right)\ \)で定められた数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)がある。
(1) \( \ b_n=a_{n+1}-a_n \ \) とおくとき、\( \ b_{n+1} \ \) と\( \ b_n \ \) の関係式を求めよ。
(2) 数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)の一般項を求めよ。
(1) \( \ b_n=a_{n+1}-a_n \ \) とおくとき、\( \ b_{n+1} \ \) と\( \ b_n \ \) の関係式を求めよ。
(2) 数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)の一般項を求めよ。
解法
(1) \( \ b_n=a_{n+1}-a_n \ \) より\( \ b_1=a_2-a_1=2a_1-3-a_1=-2 \ \)
$$\begin{align}b_{n+1}=&a_{n+2}-a_{n+1} \\\\ =&2a_{n+1}-3\left( n+1\right)-\left( 2a_n-3n\right) \\\\ =&2\left( a_{n+1}-a_n\right)-3\\\\ =&2b_n-3 \end{align}$$
(2) $$\begin{align}b_{n+1}=&2b_n-3 \\\\ \left( b_{n+1}-\alpha\right)=&2\left( b_n-\alpha\right) \\\\ -2\alpha+\alpha=&-3\quad \rm{より}\\\\ \alpha=&3\\\\ \left( b_{n+1}-3\right)=&2\left( b_n-3\right)\\\\ c_n=&b_n-3\quad \rm{とする。}\quad c_1=-5\\\\ c_n=&-5\cdot 2^{n-1}\\\\ b_n=&-5\cdot 2^{n-1}+3\\\\ a_n=&a_1+\sum_{k=1}^{n-1}{b_k} \ \left( n \geqq 2\right)\\\\ =&1+\sum_{k=1}^{n-1}{\left( -5\cdot 2^{k-1}+3\right)}\\\\ =&-5\cdot 2^{n-1}+3n+3\\\\ n=&1\rm{のときも成り立つ。} \end{align}$$
こたえ
(1) \( \ b_{n+1}=2b_n-3 \ \)(2) \( \ a_n=-5\cdot 2^{n-1}+3n+3 \ \)
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