分数の形をとる式を積分する。(その1）

2018年7月16日2023年1月15日積分とその応用実用数学技能検定（数学検定 数検),数検準1級

2018年7月22日実施の
第322回「実用数学技能検定（以下数検）」の受検にむけ、「発見」に掲載されている過去問を解きながら、「見直しノート」を作成しています。
今回は、積分でひっかかった問題を載せてみます。

新しいタグ「コロンブスの卵」

数学をやっていると、「ええっ、そんなことしていいの？」というようなテクニックに出会うことがあります。
たしかにつじつまはあっているのですが、簡単、またはシンプルすぎて、逆に思いつかないのです。
それを「コロンブスの卵」となづけました。

コロンブスは、卵を立てるため、卵の底にヒビを入れて丸みをなくしました。

コロンブスに挑まれた学者たちは、「それなら簡単に（卵を）立てられる！」と文句を言うのですが、
学者たちは誰一人思いつきませんでした。

また、学者たちは、卵にひびを入れてはいけないとも言われていなかったわけですから、
あとだしじゃんけん感は否めませんが、コロンブスのやり方が間違いともいえません。

固定観念にとらわれず、時には手段を選ばずに目的を達成せよ。というコロンブスの教えは、
数学でも活かされることでしょう。

そこで、今回から、「コロンブスの卵」となづけ、
「ずるいよね～。でも、たしかにそうだよねぇ～」というのを共感していただきたいなと思います。
今回の「コロンブスの卵」は、赤い文字と青い文字で表しています。
「なるほど～。」と思うか、
「Lukia、たいしたことねぇな。」と思うかはあなた次第です。（笑）

解法

$$ \begin{align}1&= \left( 1+\tan^{2} \theta\right)\cdot \frac{ \mathrm{ d } \theta }{ \mathrm{ d } x }\\\\ dx&= \left( 1+\tan^{2} \theta\right)\cdot d\theta \end{align}$$ $$\begin{align}与式=&\int_0^{\frac{ \pi }{ 4 }} \frac{1}{1+\tan^{2} \theta}\cdot \left( 1+\tan^{2} \theta \right) d\theta -\frac{\color{blue}{1}}{\color{blue}{2}}\int_0^1 \frac{\color{blue}{2}x}{x^2+1} dx \\\\ =&\left[ \theta \right]_0^{\frac{ \pi }{ 4 }}-\frac{1}{2}\left[\log \left( x^2+1\right)\right]_0^1 \\\\ =&\frac{ \pi }{ 4 }-\frac{1}{2}\log 2 \end{align}$$

こたえ