平面ベクトル三角形の内分比を統一する（その1）【たすきがけで比を統一せよ!!】

2023年1月6日ベクトル実用数学技能検定（数学検定数検),数検2級,数検準1級

読了時間: 約6分32秒

問題

$\triangle \mathrm{ABC}$について、辺$\mathrm{AB}$を$1：3$に内分する点を$\mathrm{D}$、辺$\mathrm{AC}$を$2：3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする。
線分$\mathrm{CD}$と線分$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{P}$とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ。

Lukia

ちょっとズルイ？やり方で解いていきます。
ベクトルを勉強した直後の定期テストでは使えないかもしれませんが、あとに難しい問題がひかえているようなセンター試験や数学検定などには使えると思います。

内分点Dを打って、頂点に比を書き込む。

Lukia

まずは、辺$\mathrm{AB}$を$3：1$に内分する点$\mathrm{D}$を打ちます。

れもん

$\mathrm{AD}：\mathrm{DB}=3：1$だから、おおよそこんな感じですね。

Lukia

はい。そして、内分比をたすきがけするように、反対側の点の近くに書いてください。

れもん

あっ、辺の比が互い違いになっていますね。
ちなみに、比の値に青いまるがしてあるのは、なにか理由があるんですか？

Lukia

平面ベクトルでは、さまざまな内分比が用いられますので、それを見分けやすくするためです。
では、同様に、辺$\mathrm{AC}$を$3：2$に内分する点$\mathrm{E}$を打ってみましょう。
れもんさん、お願いできますか？

れもん

慣れるためにやってみます。
まず、$\mathrm{AE}：\mathrm{EC}=3:2$となるように点$\mathrm{E}$を打って・・・
内分比をたすきがけして、頂点に比を書き込む・・・っと。
こんな感じですか？

Lukia

あ、比を四角で囲んでくれてますね。
こうしてみると、点$\mathrm{A}$にある比は、$\color{#0004fc}{1}$と$\color{#f700ca}{2}$の2通りで示されていることになりますね。
統一したいのですが、どうすればいいですか？

れもん

青い比を2倍すればいいんじゃないかな。

Lukia

その通りです。
ですから、改めて書き直すとこうなりますね。
このように、ひとつの頂点に異なる比が割り当てられたとき、その最小公倍数を書き込めばすべての比を統一できます。

内分点に「内分比の和」を割り当てる。

Lukia

条件にしたがって、線分$\mathrm{CD}$と線分$\mathrm{BE}$を引き、その交点を$\mathrm{P}$とします。

Lukia

内分点には、その両端の比の和を書きます。
だから、点$\mathrm{D}$は、$2+6=8$を書き込み、
点$\mathrm{E}$は、$2+3=5$を書き込みます。

れもん

はぁっ！こたえに近づいている感じがします！

Lukia

では、次に点$\mathrm{P}$についても考えてみましょう。
線分$\mathrm{BE}$に着目すれば、点$\mathrm{P}$は・・・？

れもん

あっ、内分点です！

Lukia

しつこいようですが、確認のため。
では、線分$\mathrm{CD}$に着目すれば、点$\mathrm{P}$は・・・？

れもん

内分点です！

Lukia

ということは、両端の比の和を書き込むわけですから・・・

れもん

$11$です！

表現しよう。

Lukia

それでは、いよいよ仕上げにかかります。
今回、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
（ただし、$s \ , \ t $は実数）
という形で表現せよ。ということですね。
点$A$は起点となっているので、無視して、それ以外の$\mathrm{B \ , \ C \ , \ P}$にそれぞれ比の値をつけて表現すれば、ほぼ完成です。

れもん

？？
$\Large 11\overrightarrow{\mathrm{AP}}=6\overrightarrow{\mathrm{AB}}+3\overrightarrow{\mathrm{AC}}$　ですか？

Lukia

はい。でも、こたえは、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\cdots$　と答えてほしいようですので・・・。

れもん

じゃ、両辺を$11$で割って、
$\Large \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\displaystyle\frac{6}{11}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\displaystyle\frac{3}{11}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$　ですね。

Lukia

正解です！
このように、手順を覚えてしまえば、機械的に解くことができます。

ちなみに。

Lukia

本来ならばこういうやり方で求めていきますね。

$$\begin{align}ⅰ）\quad \triangle \mathrm{ADC} \ について \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=&s\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\left( 1-s\right)\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ \left( 0 \leqq s \leqq 1\right)
\\\\ =&\displaystyle\frac{3}{4}s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\left( 1-s\right)\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdots①\end{align}$$
$$\begin{align}ⅱ）\quad \triangle \mathrm{ABE} \ について \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=&t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\left( 1-t\right)\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ \left( 0 \leqq t \leqq 1\right)
\\\\ =&t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\left( 1-t\right)\cdot \displaystyle\frac{3}{5}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdots②\end{align}$$
① , ②より、
$$\begin{align}\displaystyle\frac{3}{4}s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\left( 1-s\right)\overrightarrow{\mathrm{AC}}=&t\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\left( 1-t\right)\cdot \displaystyle\frac{3}{5}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \\\\ \\\\ \\\\ \displaystyle\frac{3}{4}s=&t\cdots③\\\\ \left( 1-s\right)=&\left( 1-t\right)\cdot \displaystyle\frac{3}{5}\cdots④ \end{align}$$
$$\begin{align}5\left( 1-s\right)=&3\left( 1-\displaystyle\frac{3}{4}s\right) \\\\ 5-5s=&3-\displaystyle\frac{9}{4}s \\\\ 2=&\displaystyle\frac{11}{4}s\\\\ s=&\displaystyle\frac{8}{11} \end{align}$$
これを①に代入して、
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AP}}=&\displaystyle\frac{3}{4}\cdot \displaystyle\frac{8}{11}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\left( \displaystyle\frac{11-8}{11}\right)\overrightarrow{\mathrm{AC}} \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=&\displaystyle\frac{6}{11}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\displaystyle\frac{3}{11}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \end{align}$$