中学数学の2種類の濃度の食塩水を混ぜる問題（その8）

2018年6月26日2023年1月15日食塩水の濃度実用数学技能検定（数学検定数検),数検3級

読了時間: 約7分24秒

[mathjax]

Lukia

いよいよ2種類の濃度の食塩水を混ぜる問題も、ラスト2つとなりました。
今回と、次回は、少し難しい部類に入ると思います。
「表を描いて、ていねいに数字をあてはめていく」という作業がどのぐらい役に立つのか。というのを確かめてみるだけでも、十分意味がありますからね。

Lukia

それでは、さっそく下に問題を示します。
少しの間、スクロールの手を止めて解いてみてください。

問題

容器Aには6%の食塩水が、容器Bにはある濃度の食塩水が、それぞれ400gずつ入っている。
容器Aから何gか取り出して容器Bに入れ、よくかき混ぜると14%の食塩水になった。
次に、容器Aから取り出したのと同じ重さだけ容器Bから取り出して容器Aに戻したところ、
容器Ａの食塩水の濃度は9%になった。
はじめに容器Aから取り出した食塩水の重さは何gか。

細かく分ける。

もも

う～わっ、数学なのに、問題文が長いですねぇ。

Lukia

そうですねぇ。食塩水の問題を解き始めたころだったら、「見なかったことにしよう・・・」と思ってしまいそうですが、よくよく見てみると、これまでに扱った問題と似ているところがありますよね。

もも

ひとまず、問題文を小分けにしてみようかな。
読んでいくと、混ぜ合わせるという操作を2回やっていますよね。
ということは、前半は「次に」の前までで、
「次に」以降は後半。としてよさそうですね。

Lukia

いいですねぇ。
人間って、いっぺんにいろんなことをするという「マルチタスク」に向いてないので、
タスクを細かく分けることは大切なんですよね。

前半（「次に」の前まで）

問題

容器Aには6%の食塩水が、容器Bにはある濃度の食塩水が、それぞれ400gずつ入っている。
容器Aから何gか取り出して容器Bに入れ、よくかき混ぜると14%の食塩水になった。

表に書き込む。

もも

じゃ、まずは、いつものように、横長の線を3本と、それを4等分するように縦の線を3本引きます。

Lukia

以下のような表になりますね。

もも

はい。
そして、①から⑥の中で、数字が書き込めそうなところを探して書き込みます。
今回は、縦の列で、左から2番目が容器Aの食塩水、
左から3番目が、容器Bの食塩水とします。
すると、①が6、
③は「ある濃度」とあるから、飛ばしておこう。

もも

途中を読み飛ばして、最後に14％の食塩水になった。とあるから、
⑤が14となりますよね。

もも

②と④と⑥を埋めたいけれど、少し難しいな・・・
AとBは、400ｇずつ入っているとあるから、
②と④に400を入れられそうだけど・・・

もも

400ｇを混ぜ合わせるわけじゃないんだ！

Lukia

はい。
問題文の4行目からを読んでほしいのですが、
「容器Ａから何ｇか取り出す。」とありますね。
はたして、②に400を入れてもよいでしょうか。

もも

あ、ホントだ！
容器Ａに400ｇの食塩水が入っているのは、間違いないけど、
400ｇ全部使うわけじゃないんですね。

Lukia

そうです。そして、後半の最後の2行を読むと、
求めるのは、「はじめに容器Ａから取り出した食塩水の重さ」とありますね。
ではあらためて聞きます。
②には、なんと書き込めばよいでしょうか。

もも

\(\Large x\) です！

もも

問題文を読むと、容器Ａから \(\Large x\) ｇ取り出して、容器Ｂに入れたとわかるので、
④は、400のままでよさそうですね。
「横はたし算」ルールを適用して、⑥は \(\Large \left( x+400\right)\) とすることができます。

Lukia

そして、容器Ｂの食塩水の濃度を表す数字が見当たらないので、
③は、\(\Large y\) としておきましょう。

％を百分率に直しておく。

Lukia

せっかく、前半後半に分けたので、表と式を完成させてしまいましょう。
「似たような作業は一気にやってしまいましょう。」と言いたいところですが、後半に少し難しいところがあるので、
前半を一つの問題。とみなして、一連の作業をこなしてみます。

もも

たまには、Lukia先生の誘導に乗ってみるか♪
百分率に直すのは、簡単。
左から、\(\Large \frac{6}{100}\) ・ \(\Large \frac{y}{100}\) ・ \(\Large \frac{14}{100}\) です。

縦はかけ算・横はたし算

Lukia

では、縦はかけ算・横はたし算をして、一気に式を立ててみてください。

もも

は～い。
まず、「縦はかけ算」をしていきます。
左から2番目の列は、\(\Large \frac{6}{100}\times x\) 、
左から3番目の列は、\(\Large \frac{y}{100}\times 400\) 、
右端の列は、\(\Large \frac{14}{100}\times \left( x+400\right)\) となります。

もも

さらに、この表の一番下の段の「横はたし算」をすれば、
式は、
\(\Large \frac{6}{100}\times x + \frac{y}{100}\times 400 = \frac{14}{100}\times \left( x+400\right)\)

となります。

もも

あれっ、でも、ひとつの式に2つも文字がある！
計算したくても、計算できない！

Lukia

はい。
式自体は完成しましたから、ひとまずおいといて、
後半に移りましょう。

後半（「次に」以降）

問題

次に、容器Aから取り出したのと同じ重さだけ容器Bから取り出して容器Aに戻したところ、
容器Ａの食塩水の濃度は9%になった。
はじめに容器Aから取り出した食塩水の重さは何gか。

表に書き込む。

もも

まずは、「後半」用の表を描いて、数字を埋めていこう。

もも

①は6、
③は \(\Large y\) 、
⑤は・・・9か。

Lukia

ももちゃん、ひっかかったな・・・
（￣ー￣）ニヤリッ。

もも

な、なんですか、その不敵な笑みは。（汗）

Lukia

容器Bは、はたして \(\Large y\) %のままでしょうか。

もも

えっ？

Lukia

今までのことを思い出してみてください。
濃度が異なる2種類の食塩水を混ぜたら、新たな濃度を示す食塩水になっていたんですよ？

もも

はい・・・。

Lukia

前半では、容器Bに、容器Aからいくらか食塩水を移したんですから、
容器Bは、\(\Large y\) %のままですか？

もも

容器Bは、\(\Large y\) %のまま・・・？
（目は前半部分を泳いでいる）

もも

じゃない！
14％になってる！！

Lukia

そうですね。
実は、前半で立てた式は、容器Bの新しい姿、「ニュー容器B」のことを表しているんですね。

もも

なんですか、そのだっさいネーミングはッ。

もも

気を取り直して、書き直してみます。
①は6、
③は14、
⑤は9となりますね。

Lukia

はい。
前半で書いておいた \(\Large y\) は使われそうにないですね。

もも

あ、ホントだ。
じゃ、次は、全体の重さの段ですね。
なんだか、操作がややこしいな。

Lukia

いま、容器Aの重さは、どうなっていますか？

もも

たしか、もともと400ｇあったんだけど、
そこから \(\Large x\) ｇ取り出したから・・・
\(\Large \left( 400-x\right)\) かな？

Lukia

そのとおりです。
だから、②には、 \(\Large \left( 400-x\right)\) が入りますね。

もも

あ、ホントだ。
じゃぁ、容器Ｂは・・・

Lukia

ニュー容器Ｂですよ？

もも

いやですよ～、そのダサい名前は言いたくない～。
あっ、「容器Ａから取り出したのと同じ重さだけ取り出した」とあるから、
④は、 \(\Large x\) ですね。

Lukia

チッ、「ニュー容器Ｂ」なのに・・・

もも

ということは、「横はたし算」をすれば、
⑥は、\(\Large \left( 400-x\right)+x=400\) で、
400ｇとなりますね。

Lukia

ふんっ、次に進んでくださいッ！

％を百分率に直しておく。

もも

じゃ、①、③、⑤の％を百分率に直します。
左から、\(\Large \frac{6}{100}\) ・ \(\Large \frac{14}{100}\) ・ \(\Large \frac{9}{100}\) となりますね。

縦はかけ算・横はたし算

もも

ということは、もう「縦はかけ算・横はたし算」で一番下の段のマスをうめていくんだな。
ですよねぇ～、Lukia先生？

Lukia

ダサイって言われた・・・（涙）

もも

なんでいじけてんですか。（笑）
ま、いいや。

もも

まず、それぞれの縦の列のかけ算をしていきます。
左から、
\(\Large \frac{6}{100}\times \left( 400-x\right)\) 、
\(\Large \frac{14}{100}\times x\) 、
\(\Large \frac{9}{100}\times 400\) となります。