中学数学の2種類の濃度の食塩水を混ぜる問題

2018年6月14日中学数学Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学検定, 数検3級

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Lukia

さぁ、それではいよいよ解いてみましょう。
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もも

はい。(ちょっと心配だな。)
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Lukia

前回、食塩水の問題は、加えるものによって3パターンに分けられると話しましたね。
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もも

はい。
えっと、「別の濃度の食塩水」と、「水」と、「食塩」でしたよね。
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Lukia

おっ、よく覚えてますね。
早速今回から、「別の濃度の食塩水」を加える問題をやってみましょう。

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もも

うわ~、%とgがいっぱい。。。
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Lukia

たしかに、単位が2種類あるから難しそうですね。
では、前回紹介した表を使って解いてみましょう。慣れたら自分ではしょったりしてもかまいませんが、
最初は、横長の線を3本と、その横長の線を4等分できるように、縦の線を3本入れます。
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もも

線を縦横、3本ずつ引けばいいんですね。
よし、やってみよう。。。
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Lukia

イメージとしては以下のようになりますね。

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Lukia

一番左の列は、単位などの項目を書き込むところなので、
試験中のように急いでいるときや、問題そのものに慣れてきたら書く必要がなくなってきますよね。
つまり、慣れてきたら、縦の線を2本にして、横長の線を3等分すればいいことになってきます。
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もも

そうなんだぁ。じゃ、線の本数を少なくできるようにがんばりたいです。
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Lukia

さらに、本当は横長の線も2本にできます。
ただし、学校の定期試験や入試などでは、式を書きなさい。といわれることもありますし、ここにきてくれる人たちの理解度もまちまちでしょうから、省略せずていねいに書くことにしておきます。
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もも

わかりました。
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Lukia

さ、それではいよいよ、表に数字を書き込んでいきます。
問題文を読むと、いま、4つの数字が書かれていますね。これらを①~⑥にあてはめてみましょう。また、食塩水の濃度や重さは、縦に並べて書くようにしましょう。
つまり、横は別の食塩水の濃度や重さを書くことになりますね。
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もも

えっと、まずは「2%の食塩水が500g」か。
①に2%、②に500gでいいですか?
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Lukia

いいですよ。次に進んでください。
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もも

は~い。
じゃ、③は9%で、④は500gですね。
4つの数字を書き込めました。
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Lukia

はい。では、⑤と⑥が残りましたね。
さて、あらためて問題文を読んでほしいのですが、今回は何を求めるのでしょうか。
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もも

えっと・・・。
「食塩水の濃度は何%か。」とあるから、濃度ですか?
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Lukia

そうですね。ということは、⑤に \( \LARGE x\) を書き込めばいいことになりますね。
ちなみに、⑥は計算するときにうまりますので、今は空欄のままでいいですよ。
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もも

じゃ、⑤に \(\LARGE x\) を書き込んで。と。
次は何ですか?
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Lukia

次は、%を「百分率」に直します。
ここは、式を立てなさい。という指示がなければ、飛ばしてもいいところなのですが、
この講義ではていねいにやりたいので、書き込んでいきますよ。
それでは、ももちゃん、2%って、分数に直すと「なんぶんのなに」でしたっけ。
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もも

えっと・・・。
\(\Large\frac{2}{100}\) かな?
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Lukia

そうです。そのとおり。
9%を百分率に直すと、
\(\LARGE \frac{9}{100}\) ということになりますね。
それでは、\(\LARGE x\)% は?
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もも

\(\LARGE \frac{x}{100}\) ですか?
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Lukia

そうです。具体的な数字がわからないため、\(\Large x\) と置いていますから、
分数に直しても、\(\Large \frac{x}{100}\) のようになります。
中学数学以降は、分子や分母にこのような文字が置かれることが増えてきますよ。
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もも

はい。ちょっと安心しました。
それでは、次をお願いします。
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Lukia

はい。実は、もう仕上げの一歩手前まできています。
今から、計算するための式を立てていくのですが、この表にはルールがあります。
縦はかけ算横はたし算です。
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もも

縦はかけ算横はたし算ですか?
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Lukia

はい。食塩水の濃度の問題は、実は、
食塩水に含まれている「食塩」の重さがいくらかを知るための式が立てられています。水に一定の割合で食塩が溶けているとして、全体の重さが100g以外のとき、食塩はいったいいくら溶けているのか。というのを知りたいなら、百分率と全体の重さをかけ合わせればわかるようになっています。
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もも

う~ん、なんだか難しい・・・。
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Lukia

大丈夫。今から食塩水の問題を山ほど解いていけば、感覚的にわかってきますよ。さて、先ほど言ったルールを表に書き込むと、以下のようになります。

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Lukia

まずは、縦のかけ算をして、2%と、9%の一番下の段を埋めてみましょう。
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もも

えっと・・・。
2%の食塩水の列の一番下は、
$$\LARGE \frac{2}{100}\times500$$

ですね。

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Lukia

いいですねぇ。では9%の食塩水の列もやってみてください。
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もも

はい。
縦にかけ算をするのだから・・・。
$$\LARGE \frac{9}{100}\times200$$

となります。

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Lukia

では、横のたし算をしましょう。
いま、⑥が空欄となっていますが、同じ段でたし算をすれば求められますね。
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もも

\(\LARGE 500+200\)で、\(\LARGE 700\) ですね。
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Lukia

そうです。ということは、\(\LARGE x\)% の列も求められますね。
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もも

あっ、ホントだ!
$$\LARGE \frac{x}{100}\times700$$

ですね。

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Lukia

はい。それでは、いよいよ最後です。
一番下の段のたし算が残っていましたね。
そこが、試験などで書くべき式となりますので、書いてみてください。
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もも

はい。
$$\LARGE \frac{2}{100}\times500 + \frac{9}{100}\times200 = \frac{x}{100}\times700$$

です。

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Lukia

グッジョブです!
あとは、工夫して計算していくと、答えが出ますね。
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もも

結局、
$$\LARGE 2\times 5 + 9\times 2 = 7x$$

を解けばいいことになりますね。

これを計算すると、\(\LARGE x=4\)だから、4%だ!

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Lukia

正解です。
正式な式を立てるため、表にはきちんと百分率で表し、式にも書き込みましたが、
さっと計算するなら、%のままの
$$\LARGE 2\times500 + 9\times200 = x\times700$$
でもいいですよね。
まだ初回なので、どこがショートカットできるか。というのをつかむのは難しいかもしれませんが、これからたくさんの問題をこなすうちに、感覚的に理解できるようになると思います。
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もも

はい。似たような問題を解いて、慣れていきたいです♪
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Lukia

それでは、再度、問題と答えを載せて終わりましょう。

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