中点と放物線の性質が理解できてる?【粗忽な大人、高校入試問題を解く〜それ、誤答です!〜】

中学数学

読了時間: 約310
広島県公立高校入試の2022年、2021年、2020年の数学の問題を解いてみました。
深い読解能力と素早い処理能力が必要とされる問題になっているな。と感じました。
3ヶ年分の問題のうち、私がおっちょこちょいなことをしたり、ツメが甘くて間違えた問題について解き直してみようと思います。
問題
下の図のように、関数\( \ y=\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \ \)のグラフがあります。また、方程式\( \ y=-3 \ \)のグラフ上を\( \ x \gt 0 \ \)の範囲で\( \ x \lt 0 \ \)動く点\( \ \mathrm{A} \ \)、\( \ x \lt 0 \ \)の範囲で動く点\( \ \mathrm{B} \ \)があります。点\( \ \mathrm{A} \ \)を通り\( \ y \ \)軸に平行な直線と、関数\( \ y=\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \ \)のグラフとの交点を\( \ \mathrm{C} \ \)、点\( \ \mathrm{B} \ \)を通り\( \ y \ \)軸に平行な直線と、関数\( \ y=\displaystyle\frac{1}{4}x^2 \ \)のグラフとの交点を\( \ \mathrm{D} \ \)とします。

四角形\( \ \mathrm{DBAC} \ \)が正方形となるような点\( \ \mathrm{A} \ \)の\( \ x \ \)座標を全て求めなさい。
2022年大問3-(2)

Lukia_74
Lukia
3ヶ年分の問題を解いてみましたが、中点の性質を利用する問題は、毎年のように出ていました。
放物線が\( \ y \ \)軸に関して線対称であることもしっかり理解しておきましょう。

解法

点\( \ \mathrm{A} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ a \ \)(ただし、\( \ a \gt 0 \ \))とおく。
点\( \ \mathrm{A} \ \)は\( \ \left( a,-3\right) \ \)と表せる。
同様に、点\( \ \mathrm{B} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ b \ \)(ただし、\( \ b \lt 0 \ \))とおく。
点\( \ \mathrm{B} \ \)は\( \ \left( b,-3\right) \ \)と表せる。
点\( \ \mathrm{C} \ \)は点\( \ \mathrm{A} \ \)と\( \ x \ \)座標を同じくし、点\( \ \mathrm{D} \ \)は点\( \ \mathrm{B} \ \)と\( \ x \ \)座標を同じくするので、
点\( \ \mathrm{C} \ \)は\( \ \left( a,\displaystyle\frac{1}{4}a^2\right) \ \),
点\( \ \mathrm{D} \ \)は\( \ \left( b,\displaystyle\frac{1}{4}b^2\right) \ \)と表せる。

—————————————————————
四角形\( \ \mathrm{DBAC} \ \)が正方形となるには、
\( \ \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \ \)である必要がある。
$$\begin{align}\mathrm{AB}=&\mathrm{AC} \\\\ a-b=&\frac{1}{4}a^2-\left( -3\right) \\\\ a-b=&\frac{1}{4}a^2+3 \ \cdots① \end{align}$$ また、放物線は\( \ y \ \)軸に関して対称なので、2点\( \ \mathrm{A},\mathrm{B} \ \)の中点が\( \ y \ \)軸上にあればよい。

$$\begin{align}\frac{a+b}{2}=&0 \\\\ b=&-a \ \cdots \ ② \end{align}$$ ②を①に代入して
$$\begin{align}a-b=&\frac{1}{4}a^2+3 \\\\ a-\left( -a\right)=&\frac{1}{4}a^2+3 \\\\ \frac{1}{4}a^2-2a+3=&0\\\\ a^2-8a+12=&0\\\\ \left( a-2\right)\left( a-6\right)=&0\\\\ a=&2,6 \end{align}$$

こたえ

\( \ 2,6 \ \)

粗忽な大人、高校入試問題を解く〜それ、誤答です!〜の記事一覧

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー

中学数学

Posted by Lukia_74