複数の文字を1つの文字に統一する【粗忽な大人、高校入試問題を解く〜それ、誤答です!〜】

中学数学

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広島県公立高校入試の2022年、2021年、2020年の数学の問題を解いてみました。
深い読解能力と素早い処理能力が必要とされる問題になっているな。と感じました。
3ヶ年分の問題のうち、私がおっちょこちょいなことをしたり、ツメが甘くて間違えた問題について解き直してみようと思います。
問題
下の図のように、\( \ y \ \)軸上に点\( \ \mathrm{A} \ \)があり、関数\( \ y=\displaystyle\frac{a}{x} \ \)のグラフ上に、\( \ y \ \)座標が\( \ 5 \ \)より大きい範囲で動く点\( \ \mathrm{B} \ \)と\( \ y \ \)座標が\( \ 2 \ \)である点\( \ \mathrm{C} \ \)があります。直線\( \ \mathrm{AB} \ \)と\( \ x \ \)軸との交点を\( \ \mathrm{D} \ \)とします。また、点\( \ \mathrm{C} \ \)から\( \ x \ \)軸に垂線を引き、\( \ x \ \)軸との交点を\( \ \mathrm{E} \ \)とします。ただし、\( \ a \gt 0 \ \)とします。
\( \ \mathrm{DA}=\mathrm{AB},\mathrm{DE}=9 \ \)となるとき、\( \ a \ \)の値を求めなさい。
2021年大問4-(2)

解法

点\( \ \mathrm{B} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ b \ \),点\( \ \mathrm{C} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ c \ \),点\( \ \mathrm{D} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ d \ \)とする。
(\( \ b,c,d \ \)は実数であり、特に\( \ b \gt 0 \ \),\( \ c \gt 0 \ \),\( \ d \lt 0 \ \))
\( \ \mathrm{DA}=\mathrm{DB} \ \)より、点\( \ \mathrm{A} \ \)は、2点\( \ \mathrm{D},\mathrm{B} \ \)の中点であるから、

$$\begin{align}\frac{b+d}{2}=&0 \\\\ b=&-d \ \cdots \ ①\end{align}$$ $$\begin{align}\frac{0+\displaystyle\frac{a}{b}}{2}=&5 \\\\ \frac{a}{b}=&10 \\\\ a=&10b \ \cdots \ ② \end{align}$$

また、点\( \ \mathrm{C} \ \)\( \ \left( c,2\right) \ \)は、関数\( \ y=\displaystyle\frac{a}{x} \ \)上の点だから、
\( \ 2=\displaystyle\frac{a}{x} \ \) より \( \ c=\displaystyle\frac{a}{2} \ \cdots \ ③ \ \)

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Lukia
さて、ここから\( \ a \ \)の値を求めるのですが、2通りの解き方をご紹介します。

パート1:bに統一しておいてからaを求める

\( \ \mathrm{DE}=9 \ \)より、
\( \ c-d=9 \ \)が成り立つ。
\( \ \displaystyle\frac{a}{2}-\left( -b\right)=9 \ \)
\( \ a+2b=18 \ \)
\( \ 10b+2b=18 \ \)
\( \ b=\displaystyle\frac{3}{2} \ \)
\( \ a=10b=10\times \displaystyle\frac{3}{2}=15 \ \)

パート2:aに統一しておいてから求める

\( \ b=\displaystyle\frac{a}{10} \ \)
\( \ d=-b=-\displaystyle\frac{a}{10} \ \)
\( \ c=\displaystyle\frac{a}{2} \ \)
\( \ \mathrm{DE}=9 \ \)より
\( \ c-d=9 \ \)
\( \ \displaystyle\frac{a}{2}+\displaystyle\frac{a}{10}=9 \ \)
\( \ 5a+a=90 \ \)
\( \ 6a=90 \ \)
\( \ a=15 \ \)

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Lukia
\( \ a \ \)の求め方について、2つのパターンで求めてみました。
どちらで答えるかはご自身の性格に基づいたらよいかと思います。
パート1は、始めに楽をするが、最後まで気を抜かないタイプ。答えるのは\( \ a \ \)の値なのに、\( \ b \ \)を答えて安心してしまうようなおっちょこちょいの方は向きません。
パート2は、始めにひと手間をかけて、最後に楽をするタイプです。
解答作成をするスペースの最後の方に「\( \ a= \ \)」って書いておくとパート1でもおっちょこちょいをせずに済みそうですね。

こたえ

\( \ a=15 \ \)

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プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74