複数の文字を1つの文字に統一する【粗忽な大人、高校入試問題を解く〜それ、誤答です！〜】

2022年4月15日2023年1月9日中学数学

広島県公立高校入試の2022年、2021年、2020年の数学の問題を解いてみました。
深い読解能力と素早い処理能力が必要とされる問題になっているな。と感じました。
3ヶ年分の問題のうち、私がおっちょこちょいなことをしたり、ツメが甘くて間違えた問題について解き直してみようと思います。

解法

点\( \ \mathrm{B} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ b \ \),点\( \ \mathrm{C} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ c \ \),点\( \ \mathrm{D} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ d \ \)とする。
（\( \ b,c,d \ \)は実数であり、特に\( \ b \gt 0 \ \),\( \ c \gt 0 \ \),\( \ d \lt 0 \ \)）
\( \ \mathrm{DA}=\mathrm{DB} \ \)より、点\( \ \mathrm{A} \ \)は、2点\( \ \mathrm{D},\mathrm{B} \ \)の中点であるから、

$$\begin{align}\frac{b+d}{2}=&0 \\\\ b=&-d \ \cdots \ ①\end{align}$$ $$\begin{align}\frac{0+\displaystyle\frac{a}{b}}{2}=&5 \\\\ \frac{a}{b}=&10 \\\\ a=&10b \ \cdots \ ② \end{align}$$

また、点\( \ \mathrm{C} \ \)\( \ \left( c,2\right) \ \)は、関数\( \ y=\displaystyle\frac{a}{x} \ \)上の点だから、
\( \ 2=\displaystyle\frac{a}{x} \ \) より \( \ c=\displaystyle\frac{a}{2} \ \cdots \ ③ \ \)

パート1：bに統一しておいてからaを求める

\( \ \mathrm{DE}=9 \ \)より、
\( \ c-d=9 \ \)が成り立つ。
\( \ \displaystyle\frac{a}{2}-\left( -b\right)=9 \ \)
\( \ a+2b=18 \ \)
\( \ 10b+2b=18 \ \)
\( \ b=\displaystyle\frac{3}{2} \ \)
\( \ a=10b=10\times \displaystyle\frac{3}{2}=15 \ \)

パート2：aに統一しておいてから求める

\( \ b=\displaystyle\frac{a}{10} \ \)
\( \ d=-b=-\displaystyle\frac{a}{10} \ \)
\( \ c=\displaystyle\frac{a}{2} \ \)
\( \ \mathrm{DE}=9 \ \)より
\( \ c-d=9 \ \)
\( \ \displaystyle\frac{a}{2}+\displaystyle\frac{a}{10}=9 \ \)
\( \ 5a+a=90 \ \)
\( \ 6a=90 \ \)
\( \ a=15 \ \)

こたえ

\( \ a=15 \ \)

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