補助線を使って、三平方の定理に持ち込む【粗忽な大人、高校入試問題を解く〜それ、誤答です!〜】

中学数学

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読了時間: 約329
広島県公立高校入試の2022年、2021年、2020年の数学の問題を解いてみました。
深い読解能力と素早い処理能力が必要とされる問題になっているな。と感じました。
3ヶ年分の問題のうち、私がおっちょこちょいなことをしたり、ツメが甘くて間違えた問題について解き直してみようと思います。

問題
正四角錐O-ABCD上の図のように、底面が、1辺の長さが \( \ 4 \ \)cm の正方形\( \ \mathrm{ABCD} \ \)で、\( \ \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}=4 \ \)cmの正四角すいがある。辺\( \ \mathrm{OC} \ \)上に、\( \ \mathrm{OP}=3 \ \)cmとなるように点\( \ \mathrm{P} \ \)をとる。辺\( \ \mathrm{OB} \ \)上に点\( \ \mathrm{Q} \ \)をとり、\( \ \mathrm{AQ}+\mathrm{QP} \ \)が最小となるようにするとき、\( \ \mathrm{AQ}+\mathrm{QP} \ \)は何cmか。

2022年大問2-(2)

中学生で余弦定理?!

2つの辺の和の最小値は、線分\( \ \mathrm{AP} \ \)上に中継点である点\( \ \mathrm{Q} \ \)があること。
2点間の距離は、三平方の定理を用いれば求められることがわかります。

Lukia_74
Lukia
三平方の定理を使わせたいんだろうな。。。
とは思ったものの、はて、直角三角形をどうやって見つけるか。
もともと幾何の問題は苦手なので、悩んでしまいました。
条件を図におこしてみると、これは余弦定理を使うしかないような状況です。

Lukia_74
Lukia
えっ、最近の中学数学って余弦定理も習うの?(汗)
と焦って「中学数学 余弦定理」でネット検索してみると、さすがにそれはなく、これと同じような問題に悩んでいる人のヤフー知恵袋に出会いました。
回答者のアドバイスは、「補助線を使って、三平方の定理に持ち込む」。

Lukia_74
Lukia
うおぉ、ホンマぢゃ。
思わず広島弁でひとりごとが出てしまいました。

解法

\( \ \mathrm{AQ}+\mathrm{QP} \ \)が最小となるのは、
線分\( \ \mathrm{AP} \ \)上に点\( \ \mathrm{Q} \ \)が存在するとき。

半直線\( \ \mathrm{AO} \ \)に対し、点\( \ \mathrm{P} \ \)から垂線をおろし、その交点を\( \ h \ \)とする。

補助線を引いた図
\( \ \triangle \mathrm{OP}h \ \)は、\( \ \angle h \mathrm{OP}=60^{\circ} \ \),\( \ \angle \mathrm{OP}h=30^{\circ} \ \)の直角三角形であるから、
辺\( \ \mathrm{O}h=\displaystyle\frac{3}{2} \ \)cm,
辺\( \ h\mathrm{P}=\displaystyle\frac{3}{2}\sqrt{3} \ \)cmである。

以上より、\( \ \triangle \mathrm{A}h\mathrm{P} \ \)も\( \ \angle \mathrm{A}h\mathrm{P}=90^{\circ} \ \)の直角三角形である。
三平方の定理より、
$$\begin{align}\mathrm{AP}^2=&\mathrm{A}h^2+h\mathrm{P}^2 \\\\ =&\left( 4+\frac{3}{2}\right)^2+\left( \frac{3}{2}\sqrt{3}\right)^2 \\\\ =&16+12+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}\times 3\\\\ =&28+\frac{9}{4}\left( 1+3\right)\\\\ =&37 \end{align}$$
\( \ \mathrm{AP} \gt 0 \ \)より
\( \ \mathrm{AP}=\sqrt{37} \ \)

こたえ

\( \ \mathrm{AP}=\sqrt{37} \ \)

余弦定理でも解いてみる

\( \ \triangle \mathrm{OAP} \ \)において余弦定理より
$$\begin{align}\cos \angle \mathrm{AOP}=&\frac{\mathrm{OA}^2+\mathrm{OP}^2-\mathrm{AP}^2}{2\mathrm{OA}\times \mathrm{OP}} \\\\ \cos 120^{\circ}=&\frac{16+9-\mathrm{AP}^2}{2\cdot 4\cdot 3} \\\\ -\frac{1}{2}=&\frac{25-\mathrm{AP}^2}{2\cdot 4\cdot 3} \\\\ -12=&25-\mathrm{AP}^2\\\\ \mathrm{AP}^2=&37\\\\ \mathrm{AP} \gt &0\quad より\\\\ \mathrm{AP}=&\sqrt{37}\end{align}$$

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プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74