三角錐とベクトル（その2）【大学入学共通テスト2023年数学ⅡB】
\( \ \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}} \ \)
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=&0 \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{AQ}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right)=&0 \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot 2\overrightarrow{\mathrm{AM}}=&\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}\\\\\overrightarrow{\mathrm{AP}}\left( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=&\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}} \\\\ {\color{#0004fc}{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=}}&{\color{#0004fc}{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}}}\end{align}$$
たとえば
\( \ \displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert}=\cos \theta \ \)
\( \ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\cos \theta \ \) であるから
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert^2 \\\\ \vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta+\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \\\\ \vert {\color{#0004fc}{\overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta+\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta=}}&{\color{#0004fc}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert}} \end{align}$$ 
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