三角錐とベクトル（その1）【大学入学共通テスト2023年数学ⅡB】
\( \ \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \ \)
と表せる。また
\( \ \displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert\overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert\overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert}={\color{#0004fc}{\cos \theta}}\quad \cdots \ {\rm{①}} \ \)
である。
①に数値を代入する。
$$\begin{align}\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert\overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert}=\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert\overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert}=&\cos \theta \\\\ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{3\sqrt{2}\times 3}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{3\sqrt{2}\times 3}=&\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=&{\color{#0004fc}{9}} \end{align}$$
\( \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=k\overrightarrow{\mathrm{AM}} \ \) (\( \ k \ \)は実数) とする。
$$\begin{align}\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}=&0 \\\\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right)=&0 \\\\ k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AM}}=&18\\\\ k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=&36\\\\ k\left( \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=&36\\\\ 18k=&36\\\\ k=&2 \end{align}$$
\( \ \overrightarrow{\mathrm{AD}}={\color{#0004fc}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AM}} \ \) である。
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