正十二面体とベクトル(その3)【大学入学共通テスト】

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\( \ \overrightarrow{\mathrm{OB_1}}=\overrightarrow{\mathrm{OA_2}}+a\overrightarrow{\mathrm{OA_1}} \ \)
\( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OA_2}}-\overrightarrow{\mathrm{OA_1}} \vert^2=\vert \overrightarrow{\mathrm{A_1A_2}} \vert^2=a^2={\color{#0004fc}{\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2}}} \ \)
\( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{OA_2}}-\overrightarrow{\mathrm{OA_1}} \vert^2=\vert \overrightarrow{\mathrm{A_1A_2}} \vert^2=a^2={\color{#0004fc}{\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2}}} \ \)
に注意すると
$$\begin{align}\vert \overrightarrow{\mathrm{OA_2}}-\overrightarrow{\mathrm{OA_1}} \vert^2=\vert \overrightarrow{\mathrm{OA_2}} \vert^2-2\overrightarrow{\mathrm{OA_2}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA_1}}+\vert \overrightarrow{\mathrm{OA_1}} \vert^2=&a^2 \\ 2-2\overrightarrow{\mathrm{OA_2}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA_1}}=&\frac{3+\sqrt{5}}{2} \\ \overrightarrow{\mathrm{OA_1}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA_2}}=&{\color{#0004fc}{\frac{1-\sqrt{5}}{4}}} \end{align}$$
を得る。
以降、
\( \ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a = \displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ b = \displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{4} \end{array} \right. \end{eqnarray} \ \)
とする。
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