三角錐とベクトル(その3)【大学入学共通テスト2023年数学ⅡB】

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(3)-(ⅰ) より
\( \ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta \ \)
\( \ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta \ \) であるから、

$$\begin{align}k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=&\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} \\\\ k\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta \\\\ {\color{#0004fc}{k\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert=}}&{\color{#0004fc}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert}} \end{align}$$


\( \ \vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta+\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta=\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \ \)

\( \ k\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert =\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \ \) より

$$\begin{align}\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta+\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \\\\ \vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta+k\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \\\\ \left( 1+k\right)\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert\\\\ \left( 1+k\right)\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\times \frac{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB’}} \vert}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert}=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert\\\\ \left( 1+k\right)\vert \overrightarrow{\mathrm{AB’}} \vert=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert\end{align}$$
点\( \ \mathrm{B’} \ \)は、線分\( \ \mathrm{AP} \ \)を\( \ 1:k \ \)に内分する。


\( \ \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\displaystyle\frac{1}{k}\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \ \) より

$$\begin{align}\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert \cos \theta+\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert\\\\ \frac{1}{k}\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta+\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \\\\ \left( 1+\frac{1}{k}\right)\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert \cos \theta=& \vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert \\\\ \left( 1+\frac{1}{k}\right)\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert\times \frac{\vert \overrightarrow{\mathrm{AC’}} \vert}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert}=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert\\\\ \left( 1+\frac{1}{k}\right)\vert \overrightarrow{\mathrm{AC’}} \vert=&\vert \overrightarrow{\mathrm{AP}} \vert\end{align}$$

点\( \ \mathrm{C’} \ \)は、線分\( \ \mathrm{AP} \ \)を\( \ k:1 \ \)に内分する。


\( \ \overrightarrow{\mathrm{PA}} \ \)と \( \ \overrightarrow{\mathrm{PQ}} \ \)が垂直であることは、
\( \ \mathrm{{\color{#0004fc}{B’}}} \ \)\( \ \mathrm{{\color{#0004fc}{C’}}} \ \) が線分\( \ \mathrm{{\color{#0004fc}{AP}}} \ \)をそれぞれ\( \ {\color{#0004fc}{1:k}} \ \) \( \ {\color{#0004fc}{k:1}} \ \) に内分する点 であることと同値である。
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プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74