指数と対数（その1）【大学入学共通テスト2021年数学ⅡB】
\( \ f\left( 0\right)=\displaystyle\frac{1+1}{2}={\color{#0004fc}{1}} \ , \ g\left( 0\right)=\displaystyle\frac{1-1}{2}={\color{#0004fc}{0}} \ \)
相加平均と相乗平均の関係から
$$\begin{align}f\left( x\right)=\displaystyle\frac{2^x+2^{-x}}{2} &\geqq 2\sqrt{\displaystyle\frac{2^x}{2}\times \displaystyle\frac{2^{-x}}{2}} \\\\ & \geqq \frac{2}{2} \\\\ & \geqq {\color{#0004fc}{1}} \end{align}$$
これより最小値は\( \ {\color{#0004fc}{1}} \ \)
\( \ x={\color{#0004fc}{0}} \ \) のとき。
\( \ \alpha=2^x \ \) とする。（ \( \ \alpha \gt 0 \ \) )
$$\begin{align}g\left( x\right)=\frac{\alpha}{2}-\frac{\frac{1}{\alpha}}{2}=&-2 \\\\ \alpha-\frac{1}{\alpha}=&-4\\\\ \alpha^2-1=&-4\alpha \\\\\left( \alpha+2\right)^2-4=&1\\\\ \alpha+2=& \pm \sqrt{5}\\\\ \alpha=\sqrt{5}-2 \end{align}$$ $$\begin{align}2^x=&\sqrt{5}-2 \\\\ x=&\log_{2}\left( {\color{#0004fc}{\sqrt{5}}}-{\color{#0004fc}{2}}\right) \end{align}$$
\( \ f\left( -x\right)=\displaystyle\frac{2^{-x}+2^x}{2}={\color{#0004fc}{f\left( x\right)}}\quad \cdots \ {\rm{①}} \ \)
\( \ g\left( -x\right)=\displaystyle\frac{2^{-x}-2^x}{2}={\color{#0004fc}{-g\left( x\right)}}\quad \cdots \ {\rm{②}} \ \)
\( \ \lbrace f\left( x\right)\rbrace^2-\lbrace g\left( x\right)\rbrace^2=\lbrace f\left( x\right)+g\left( x\right)\rbrace \lbrace f\left( x\right)-g\left( x\right)\rbrace=2^{-x}\times 2^x=2^0={\color{#0004fc}{1}}\quad \cdots \ {\rm{③}} \ \)
$$\begin{align}g\left( 2x\right)=\frac{2^{2x}-2^{-2x}}{2}=&\frac{\left( 2^x\right)^2-\left( 2^{-x}\right)^2}{2} \\\\ =&\frac{2^x+2^{-x}}{2}\times \left( 2^x-2^{-x}\right) \\\\ =&{\color{#0004fc}{2}}f\left( x\right)g\left( x\right)\quad \cdots \ {\rm{④}} \end{align}$$
$$\begin{align}f\left( 2x\right)=&\frac{\left( 2^x+2^{-x}\right)^2-2}{2} \\\\ =&2\lbrace f\left( x\right)\rbrace^2-1 \quad \cdots \ {\rm{⑤}}\\\\\end{align}$$
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