通勤、お疲れさまです!【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

 『通勤、お疲れさまです!』のアイキャッチ画像
読了時間: 約230

「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

ある会社で、社員\( \ 180 \ \)人に通勤で用いる交通手段をたずねたところ、以下のような結果となった。
電車を使う人が\( \ 80 \ \)人、バスを使う人が\( \ 53 \ \)人、自転車を使う人が\( \ 86 \ \)人であった。
電車とバスを両方使う人は\( \ 20 \ \)人であった。
自転車だけを使う人は\( \ 48 \ \)人だった。
このとき、電車、バス、自転車のいずれも使わない人は何人か。

解法

全体集合(社員の総数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件X(電車)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件Y(バス)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件Z(自転車)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図電車、バス、自転車のいずれも使わない人を\( \ x \ \)人とする。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 180\\ \mathrm{X} =80 \\\mathrm{Y} = 53\\\mathrm{Z} =86 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=219 \ \cdots \ \rm{①} \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =180-x \ \cdots \ \rm{②} \\ a+b+e+f=80 \ \cdots \ \rm{③} \\ a+c+e+g=53 \ \cdots \ \rm{④}\\a+b+c+d=86 \ \cdots \ \rm{⑤}\\a+e=20 \ \cdots \ \rm{⑥}\\d=48 \ \cdots \ \rm{⑦} \end{array} \right. \end{eqnarray}
①-②より
\( \ 2a+\left( b+c+e\right)=39+x \ \cdots \ \rm{⑧} \ \)
これに⑥を代入して
\( \ a+b+c=19+x \ \cdots \ \rm{⑨} \ \) ⑤と⑦より
\( \ a+b+c=38 \ \cdots \ \rm{⑩} \ \) ⑨と⑩より
\( \ x=19 \ \)

こたえ

\( \ 19 \ \)

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー