明日の天気チェックの方法は?【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

学生\( \ 89 \ \)人に対して、天気予報を見る媒体について調べたところ、ア〜ウのことがわかった。
ア 携帯電話とテレビの両方を利用している学生は\( \ 15 \ \)人、テレビと新聞の両方を利用している学生は\( \ 13 \ \)人、携帯電話と新聞の両方を利用している学生は\( \ 17 \ \)人であった。
イ 携帯電話とテレビのうち少なくとも一方を利用している学生は\( \ 73 \ \)人、テレビと新聞のうち少なくとも一方を利用している学生は\( \ 69 \ \)人、携帯電話と新聞のうち少なくとも一方を利用している学生は\( \ 71 \ \)人である。
ウ 全員が携帯電話、テレビ、新聞のうち少なくとも1つを利用している。

このとき、携帯電話とテレビと新聞の3つすべてを利用している学生は何人か。

解法

全体集合(学生の総数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(携帯電話を利用している学生)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(テレビを利用している学生)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(新聞を利用している学生)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図
携帯電話を利用している学生を\( \ \mathrm{X} \ \)人、
テレビを利用している学生を\( \ \mathrm{Y} \ \)人、
新聞を利用している学生を\( \ \mathrm{Z} \ \)人とし、
携帯電話とテレビと新聞の3つすべてを利用している学生を\( \ a \ \)人とする。
  $$\mathrm{XY}$$ $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ $$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$ \( \ a \ \) \( \ b \ \) \( \ c \ \) \( \ d \ \)
$$a$$      
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ \( \ e \ \) \( \ f \ \) \( \ g \ \) \( \ h \ \)
      $$0$$ 

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 89\\ \mathrm{X} =\mathrm{X} \\\mathrm{Y} =\mathrm{Y}\\\mathrm{Z} =\mathrm{Z} \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}=73 \\ \mathrm{X}\cap\mathrm{Y}=15 \end{array} \right. \end{eqnarray} より
$$\begin{align}\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}=&\mathrm{X}+\mathrm{Y}-\left( \mathrm{X}\cap\mathrm{Y}\right) \\\\ 73=&\mathrm{X}+\mathrm{Y}-15 \\\\ \mathrm{X}+\mathrm{Y}=&88 \ \cdots \ \rm{①} \end{align}$$
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=69 \\ \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z}=13 \end{array} \right. \end{eqnarray} より
$$\begin{align}\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=&\mathrm{Y}+\mathrm{Z}-\left( \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z}\right) \\\\ 69=&\mathrm{Y}+\mathrm{Z}-13 \\\\ \mathrm{Y}+\mathrm{Z}=&82 \ \cdots \ \rm{②} \end{align}$$
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{Z}\cup\mathrm{X}=71 \\ \mathrm{Z}\cap\mathrm{X}=17 \end{array} \right. \end{eqnarray} より
$$\begin{align}\mathrm{Z}\cup\mathrm{X}=&\mathrm{Z}+\mathrm{X}-\left( \mathrm{Z}\cap\mathrm{X}\right) \\\\ 71=&\mathrm{Z}+\mathrm{X}-17 \\\\ \mathrm{Z}+\mathrm{X}=&88 \ \cdots \ \rm{③} \end{align}$$
①+②+③より
\( \ 2\left( \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}\right)=258 \ \)
\( \ \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}=129 \ \cdots \ \rm{④} \ \) \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=129 \ \cdots \ \rm{④} \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =89 \ \cdots \ \rm{⑤} \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha=b+c+e \ \), \( \ \beta=d+f+g \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a+2\alpha+\beta = \quad \cdots \ \rm{④} \\ a+\alpha+\beta = \quad \cdots \ \rm{⑤} \end{array} \right. \end{eqnarray} ④-⑤より
$$\begin{align}2a+\alpha=&40 \\\\ \alpha=&40-2a \ \cdots \ \rm{⑥} \end{align}$$ ここで、
$$\begin{align}\mathrm{X}\cap\mathrm{Y}=&a+e=15 \\\\ \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z}=&a+c=13 \\\\ \mathrm{Z}\cap\mathrm{X}=&a+b=17 \\\\ \rm{辺々加えて}&\\\\3a+\left( b+c+e\right)=&45\\\\ 3a+\alpha=5\\\\ \rm{⑥より}&\\\\ 3a+40-2a=&45\\\\ a=&5 \end{align}$$

こたえ

\( \ 5 \ \)人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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