3つの集合をカルノー図で整理する【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

この記事では、3つの集合とカルノー図を対応させてみます。
最終的には、以下に紹介する集合の包含関係が、ぱっと脳内変換できるようになってほしいと思います。

3つの集合とカルノー図の関係

全体集合を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図

単一の集合をカルノー図で表す

集合X

カルノー図における集合X 集合\( \ \mathrm{X} \ \)は、カルノー図の赤色で塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{X}=a+b+e+f$$

集合Y

集合\( \ \mathrm{Y} \ \)は、カルノー図の緑色で塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{Y}=a+e+c+g$$

集合Z

集合\( \ \mathrm{Z} \ \)は、カルノー図の青色で塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{Z}=a+b+c+d$$

2つの集合の共通集合(積集合)をカルノー図で表す

XかつY

集合\( \ \mathrm{X}\cap\mathrm{Y} \ \)は、カルノー図の赤色と緑色が混ざり、濃い緑色(モスグリーン)に塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{X}\cap\mathrm{Y}=a+e$$

YかつZ

集合\( \ \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z} \ \)は、カルノー図の緑色と青色が混ざり、青緑色に塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z}=a+c$$

ZかつX

集合\( \ \mathrm{Z}\cap\mathrm{X} \ \)は、カルノー図の青色と赤色が混ざり、紫色に塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{Z}\cap\mathrm{X}=a+b$$

2つの集合の合併集合(和集合)をカルノー図で表す

XまたはY

集合\( \ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y} \ \)は、カルノー図の赤色と緑色と2色が混ざった濃い緑色(モスグリーン)に塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}=a+b+c+e+f+g$$

YまたはZ

集合\( \ \mathrm{Y}\cup\mathrm{Z} \ \)は、カルノー図の緑色と青色と2色が混ざった青緑色に塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+b+c+d+e+g$$

ZまたはX

集合\( \ \mathrm{Z}\cup\mathrm{X} \ \)は、カルノー図の青色と赤色と2色が混ざった紫色に塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \mathrm{Z}\cup\mathrm{X}=a+b+c+d+e+f$$

3つの集合を足し合わせる

3つの集合を足し合わせた状態は、以下の図のようになります。
しかし、この図の色を表現することは難しいので、あらためて、集合が重なり合っている数ごとに色分けをしてみます。それが以下の図です。

3つの集合が重なり合っている部分を灰色、
2つの集合が重なり合っている部分をピンク色、
1つの集合だけの部分を水色で表しています。

$$\Large \begin{align}\mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}=&\left( a+e+b+f\right)+\left( a+e+c+g\right)+\left( a+b+c+d\right) \\\\ =&3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right) \end{align}$$

3つの集合の合併集合(和集合)をカルノー図で表す

3つの集合の合併集合(和集合)とは、「\( \ \mathrm{X} \ \)または\( \ \mathrm{Y} \ \)または\( \ \mathrm{Z} \ \)」のことです。

3つの集合のどこかに含まれていればいいということですので、
以下の図の黄色に塗りつぶされた部分にあたります。
$$\Large \begin{align}\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=&a+b+c+d+e+f+g \\\\ =&a+\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right) \end{align}$$ また、上のカルノー図より、3つの集合の合併集合(和集合)は、全体集合\( \ \mathrm{U} \ \)から\( \ \overline{\mathrm{X}}かつ\overline{\mathrm{Y}}かつ\overline{\mathrm{Z}} \ \)、すなわち\( \ h \ \)を引いたものに等しいことがわかります。
$$\Large \begin{align}\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=&\mathrm{U}-\left( \overline{\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}}\right) \\\\ =&\mathrm{U}-\left( \overline{\mathrm{X}}\cap\overline{\mathrm{Y}}\cap\overline{\mathrm{Z}}\right) \\\\ =&\mathrm{U}-h \end{align}$$

問題にチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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