男女別の売れ筋調査?!【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

あるコンビニエンスストアに来店した男女それぞれ\( \ 100 \ \)人について、おにぎり、お茶および雑誌の3商品の購入状況を調べたところ、次のア〜エのことがわかった。
ア おにぎりを購入した人数は男性が\( \ 28 \ \)人、女性が\( \ 27 \ \)人であり、お茶を購入した人数は男性が\( \ 21 \ \)人、女性が\( \ 24 \ \)人であった。
イ 雑誌を購入した男性の人数は、雑誌を購入した女性の人数の\( \ 2 \ \)倍よりも\( \ 8 \ \)人少なかった。
ウ おにぎり、お茶および雑誌の3商品のうちいずれか1商品だけを購入した人数は、男性が\( \ 22 \ \)人、女性が\( \ 23 \ \)人であり、おにぎり、お茶および雑誌の3商品のすべてを購入した人数は、男性が\( \ 3 \ \)人、女性が\( \ 4 \ \)人であった。
エ おにぎり、お茶および雑誌の3商品のいずれも購入しなかった人数は、男性の方が女性よりも\( \ 2 \ \)人少なかった。

以上から判断して、おにぎり、お茶および雑誌の3商品のうち2商品以上を購入した人数は何人か。

解法

全体集合(男性の総数)を集合\( \ \mathrm{U}_m \ \),
『条件\( \ \mathrm{X}_m \ \)(おにぎりを購入した男性)』を集合\( \ \mathrm{X}_m \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y}_m( \ \)お茶を購入した男性)』を集合\( \ \mathrm{Y}_m \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z}_m \ \)(雑誌を購入した男性)』を集合\( \ \mathrm{Z}_m \ \)とする.

全体集合(女性の総数)を集合\( \ \mathrm{U}_f \ \),
『条件\( \ \mathrm{X}_f \ \)(おにぎりを購入した女性)』を集合\( \ \mathrm{X}_f \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y}_f( \ \)お茶を購入した女性)』を集合\( \ \mathrm{Y}_f \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z}_f \ \)(雑誌を購入した女性)』を集合\( \ \mathrm{Z}_f \ \)とする.

性別を問わず、3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図

男性の情報を整理する

男性 $$\mathrm{XY}$$ $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ $$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$ \( \ a_m \ \) \( \ b_m \ \) \( \ c_m \ \) \( \ d_m \ \)
$$3$$      
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ \( \ e_m \ \) \( \ f_m \ \) \( \ g_m \ \) \( \ h_m \ \)
      $$h_f-2$$ 
男性\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U}_m = 100\\ \mathrm{X}_m =28 \\\mathrm{Y}_m = 21\\\mathrm{Z}_m =2z_f-8\end{array} \right. \end{eqnarray}


\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}_m+\mathrm{Y}_m+\mathrm{Z}_m =3a_m+2\left( b_m+c_m+e_m\right)+\left( d_m+f_m+g_m\right)=41+2z_f \\ \mathrm{X}_m\cup\mathrm{Y}_m\cup\mathrm{Z}_m=a_m+\left( b_m+c_m+e_m\right) + \left( d_m+f_m+g_m\right) =102-h_f \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha_m=b_m+c_m+e_m \ \), \( \ \beta_m=d_m+f_m+g_m=22 \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a_m+2\alpha_m+\beta_m =41+2z_f \quad \cdots \ ① \\ a_m+\alpha_m+\beta_m =102-h_f \quad \cdots \ ② \end{array} \right. \end{eqnarray}

①において
$$\begin{align}3a_m+2\alpha_m+\beta_m=&3\times 3+2\alpha_m+\beta_m \\\\ 2\alpha_m=&10+2z_f \end{align}$$ ②において
$$\begin{align}a_m+\alpha_m+\beta_m=&102-h_f \\\\ \alpha_f=&77-h_f \end{align}$$ ①、②より
\( \ 2\left( 77-h_f\right)=10+2z_f \ \cdots \ ⑤ \ \)

女性の情報を整理する


女性 $$\mathrm{XY}$$ $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ $$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$ \( \ a_f \ \) \( \ b_f \ \) \( \ c_f \ \) \( \ d_f \ \)
$$4$$      
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ \( \ e_f \ \) \( \ f_f \ \) \( \ g_f \ \) \( \ h_f \ \)
      $$h_f$$ 

女性\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U}_f = 100\\ \mathrm{X}_f =27 \\\mathrm{Y}_f = 24\\\mathrm{Z}_f =z_f \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}_f+\mathrm{Y}_f+\mathrm{Z}_f =3a_f+2\left( b_f+c_f+e_f\right)+\left( d_f+f_f+g_f\right)=51+z_f \\ \mathrm{X}_f\cup\mathrm{Y}_f\cup\mathrm{Z}_f=a_f+\left( b_f+c_f+e_f\right) + \left( d_f+f_f+g_f\right) =100-h_f \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha_f=b_f+c_f+e_f \ \), \( \ \beta_f=d_f+f_f+g_f=23 \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a_f+2\alpha_f+\beta_f =51+z_f \quad \cdots \ ③ \\ a_f+\alpha_f+\beta_f =100-h_f \quad \cdots \ ④ \end{array} \right. \end{eqnarray}
③より
$$\begin{align}3a_f+2\alpha_f+\beta_f=&51+z_f \\\\ 3\times 4+2\alpha_f+23=&51+z_f \\\\ 2\alpha_f=&16+z_f \end{align}$$ ④より
$$\begin{align}a_f+\alpha_f+\beta_f=&100-h_f \\\\ 4+\alpha_f+23=&100-h \\\\ \alpha_f=&73-h_f \end{align}$$ ③と④より
\( \ 2\left( 73-h_f\right)=16+z_f \ \cdots \ ⑥ \ \)

2商品以上購入した人数を求める

2商品以上(最大3商品)購入した人数を求める。
2商品以上(最大3商品)購入した人数は、\( \ \left( a_m+\alpha_m\right)+\left( a_f+\alpha_f\right) \ \) と表せる。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2\left( 77-h_f\right) = 10+2z_f \ \cdots \ ⑤ \\ 2\left( 73-h_f\right)=16+z_f \ \cdots \ ⑥ \end{array} \right. \end{eqnarray} これを解いて、\( \ h_f=58 \ \)
$$\begin{align}\left( a_m+\alpha_m\right)+\left( a_f+\alpha_f\right)=&3+\left( 77-h_f\right)+4+\left( 73-h_f\right) \\\\ =&7+\left( 77-58\right)+\left( 73-58\right) \\\\ =&41 \end{align}$$

こたえ

\( \ 41 \ \)人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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