大学、どこ、受験した？【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

2022年9月4日2023年1月31日SPI能力検査（非言語分野）,集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん！

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図？なにそれ？という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

解法

全体集合(入学者総数)を集合$\mathrm{U}$,
『条件$\mathrm{X}$($\mathrm{X}$大学を受験した)』を集合$\mathrm{X}$,
『条件$\mathrm{Y}$($\mathrm{Y}$大学を受験した)』を集合$\mathrm{Y}$,
『条件$\mathrm{Z}$($\mathrm{Z}$大学を受験した)』を集合$\mathrm{Z}$とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
（ベン図とカルノー図に示す記号$a$〜$h$は、それぞれ対応している）


$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\mathrm{X}=a+b+e+f=65\\ \mathrm{Y}=a+e+c+g=40\\ \mathrm{Z}=a+b+c+d=\mathrm{Z}\\ \mathrm{X}\cap \mathrm{Y}=a+e=14\\ \mathrm{Z}\cap \mathrm{X}=a+b=11\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\mathrm{X}\cup \mathrm{Y}\cup \mathrm{Z}=a+(b+c+e)+(d+f+g)=99\\ \mathrm{Y}\cup \mathrm{Z}=a+(b+c+e)+d+g=55\end{array}\end{array}$$ より$f=44$
$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}\mathrm{X}\cup \mathrm{Y}\cup \mathrm{Z}=a+(b+c+e)+(d+f+g)=99\\ \mathrm{X}\cup \mathrm{Z}=a+(b+c+e)+d+f=78\end{array}\end{array}$$ より$g=21$
$$\begin{array}{rl}\mathrm{X}=a+e+b+f=14+b+44=& 65\\ \\ b=& 7\\ \\ a+b=& 11\mathrm{よ}\mathrm{り}\\ \\ a=& 4\\ \\ a+e=& 14\mathrm{よ}\mathrm{り}\\ \\ e=& 10\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\mathrm{Y}=a+e+c+g=& 40\\ \\ 4+10+c+21=& 40\\ \\ c=& 5\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\mathrm{Z}=& a+b+c+d=4+7+5+11\\ \\ =& 27\end{array}$$ カルノー図にて整理する

	$$\mathrm{XY}$$	$$\mathrm{X}\bar{\mathrm{Y}}$$	$$\bar{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$	$$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$	$a$	$b$	$c$	$d$
	$$4$$	$$7$$	$$5$$	$$11$$
$$\bar{\mathrm{Z}}$$	$e$	$f$	$g$	$h$
	$$10$$	$$44$$	$$21$$

2) $\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$,$\mathrm{Z}$大学すべてを受験した者は $a$にあたるので、$4$人。
3) 3大学のうち、いずれかひとつの大学のみ受験した者は $d+f+g$ にあたるので、$76$人。

こたえ

1) $27$人
2) $4$人
3) $76$人

ほかの問題にもチャレンジ！

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

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この記事のタイトルは『大学、どこ、受験した？』です。