3つの集合問題はカルノー図で簡単解決!(問題編)【ビジネス数学検定2級 合格への道】

2022年5月4日SPI能力検査(非言語分野),ビジネス数学検定,集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野),ビジネス数学検定2級

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第75回 ビジネス数学検定受検まで あと55日
受検勉強を再開した2022年4月18日より17日経過しています。 レモンのライン
ビジネス数学検定2級の公式問題集の中で、ここは数学の知識があるほうが解きやすいなという問題について、
いくつか紹介してみたいと思います。

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問題
ある会社では、全従業員(\( \ 326 \ \)人)に、資格\( \ \mathrm{X} \ \)、資格\( \ \mathrm{Y} \ \)、資格\( \ \mathrm{Z} \ \)の取得を推奨しています。
ある時、資格取得状況を調査したところ、以下のような結果が得られました。
資格\( \ \mathrm{X} \ \)を取得している人 \( \ 188 \ \)人
資格\( \ \mathrm{Y} \ \)を取得している人 \( \ 151 \ \)人
資格\( \ \mathrm{Z} \ \)を取得している人 \( \ 100 \ \)人
資格\( \ \mathrm{X} \ \)を取得している人で
資格\( \ \mathrm{Y} \ \)も取得している人
\( \ 98 \ \)人
資格\( \ \mathrm{Y} \ \)を取得している人で
資格\( \ \mathrm{Z} \ \)も取得している人
\( \ 41 \ \)人
資格\( \ \mathrm{Z} \ \)を取得している人で
資格\( \ \mathrm{X} \ \)も取得している人
\( \ 56 \ \)人
資格を取得していない人 \( \ 65 \ \)人

資格\( \ \mathrm{X} \ \)、資格\( \ \mathrm{Y} \ \)、資格\( \ \mathrm{Z} \ \)の3つすべてを取得している従業員は何人ですか。

解法

カルノー図をかいて考えていきます。カルノー図 $$\begin{align}\mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}=&3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right) \\\\ =&188+151+100 \\\\ =&439 \ \cdots\quad ① \end{align}$$

2つの資格を取得している人のことを考えるとき、3つ目の資格を取得しているかどうかは問題としません。
たとえば、「資格\( \ \mathrm{X} \ \)を取得している人で 資格\( \ \mathrm{Y} \ \)も取得している人」の\( \ 98 \ \)人の中には、資格\( \ \mathrm{Z} \ \)を取得している人(カルノー図で\( \ a \ \)にあたる)も、資格\( \ \mathrm{Z} \ \)を取得していない人(カルノー図で\( \ e \ \)にあたる)も含まれていると考えます。

同様に考えて、
$$\begin{align}a+e=&98 \\\\ a+c=&41 \\\\ a+b=&56\\\\ 辺々&加えて\\\\ 3a+\left( b+c+e\right)=&195 \ \cdots② \end{align}$$
全従業員のうち\( \ 65 \ \)人はいずれの資格も取得していないので、
$$\begin{align}\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=\mathrm{U}-h=&a+\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right) \\\\ =&326-65 \\\\ =&261 \ \cdots\quad ③ \end{align}$$

ここで、\( \ \alpha=b+c+e \ , \ \beta=d+f+g \ \) とする。
整理すると、
$$\begin{align}3a+2\alpha+\beta=&439 \ \cdots\quad ① \\\\ 3a+\alpha=&295 \ \cdots\quad ②\\\\ a+\alpha+\beta=&261 \ \cdots\quad ③ \end{align}$$ ①-② より
\( \ \alpha+\beta=244 \ \cdots\quad ④ \ \)
④を③に代入して、
$$\begin{align}a+244=&261 \\\\ a=&17 \end{align}$$

レモンのラインいかがですか?一見複雑そうな表から、サクサクと人数を求めることができました。
この3つの集合の問題は、もっと複雑なものもありますが、ビジネス数学検定では1問あたり2分弱で解かないといけないので、おそらくこのぐらいの問題が出題されるのではないかと思います。
同じ問題でいいですから、カルノー図の書き方と式を覚え、スムーズに解答できるようになっておきましょう。

こたえ

\( \ 17 \ \)人

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この記事のタイトルは『 3つの集合問題はカルノー図で簡単解決!(問題編)』です。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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