高校数学の「正弦定理・余弦定理の活用」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

2022年6月13日2023年1月8日図形と計量大学入学共通テスト,実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級,数検準2級

Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「正弦定理・余弦定理の活用」に関する問題を解いてみました。

解法

DEの長さ

三角形\( \ ABC \ \)において、余弦定理より
$$\begin{align}\cos \angle \mathrm{ACB}=&\frac{\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2-\mathrm{AB}^2}{2\mathrm{BC}\cdot \mathrm{CA}} \\\\ =&\frac{7^2+6^2-8^2}{2\cdot 7\cdot 6} \\\\ =&\frac{1}{4} \end{align}$$ ここで、四角形\( \ \mathrm{PDCE} \ \)に外接する円を考える。
円に内接する四角形の性質より
\( \ \cos \angle \mathrm{EPD}=-\displaystyle\frac{1}{4} \ \)
三角形\( \ PDE \ \)において、余弦定理より
$$\begin{align}\cos \angle \mathrm{EPD}=&\frac{\mathrm{PD}^2+\mathrm{PE}^2-\mathrm{DE}^2}{2\mathrm{PD}\cdot \mathrm{PE}} \\\\ -\frac{1}{4}=&\frac{2^2+4^2-\mathrm{DE}^2}{2\cdot 2\cdot 4} \\\\ -4=&20-\mathrm{DE}^2\\\\ \mathrm{DE}^2=&24\\\\ \mathrm{DE} \gt& 0 \ \rm{より}\\\\ \mathrm{DE}=&2\sqrt{6} \end{align}$$

PCの長さ

\( \ \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta=1 \ \)より
\( \ \sin \angle \mathrm{ECD}=\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{4} \ \)

\( \ \angle \mathrm{PCD}=\angle \mathrm{R} \ \)より
\( \ \mathrm{PC} \ \)は三角形\( \ \mathrm{DCE} \ \)の外接円の直径である。
正弦定理より
$$\begin{align}2\mathrm{R}=&\frac{\mathrm{DE}}{\sin \angle \mathrm{ECD}} \\\\ =&2\sqrt{6}\times \frac{4}{\sqrt{15}} \\\\ =&\frac{8\sqrt{10}}{5} \end{align}$$

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