クリスマスツリーを作るのに数学を使ってみた。(その1)
[mathjax]
人生は不定（ふじょう）
昨年、フェリシモで縫い付けタイプのビジューとビーズで作るブローチを紹介していて、ビジューを買い足し、フェリシモの紹介動画を参考にすれば、自分でもやれるんじゃないかなと思い、縫い付けビジューをたくさん買ってありました。
ところが、昨年末に急遽夫の転勤が決まり、引っ越し作業でそれどころじゃなく。
はたまた、3月から思いがけず「社会復帰」することになったので、またまたそれどころじゃなく。
いろんな分野のタスクをためこんでいるのですが、クリスマスのデコレーションって、見ているとウキウキしますよね。
クリスマスツリーは飾る場所がないし、出したりしまったりの作業がめんどくさそう。
最近は、クリスマスツリーが印刷されたタペストリーなんてのも出てますよね。
あれでもいいのですが、でも、もうちょっと自作感を出したい。
ふと思い出したのが、ビジューブローチ。
作るのは大変だけど、一度作れば、その後は飾るだけでいい。
性格上、「これもいいかも♪」「あっ、これもかわいい♪」と大量に買っているだろうから、
ビジューやビーズの大量消費といい練習ができて、一石二鳥ではないか。と思いました。
やっぱり、ビジューを大人買いしてました。
予想通り、縫い付けビジューは大量に買ってありました。
おおまかに色を分けてみると、
オーロラ系
緑系
青系
紫系
ピンク系
赤系
とありました。
クリスマスツリーというと、緑系がポピュラーですが、
私が心惹かれるのは、白のツリーに青いデコレーションがされたクリスマスツリー。
今回は、青系のビジュー4種類を全部使って、タペストリーを作ろうと思います。
出来上がりの大きさを予測する
今のところ、イメージとしては、二等辺三角形にびっしりビジューを縫い付けようと思っているのですが、
びっしり感を醸し出すには、どのぐらいの大きさの二等辺三角形にすればいいのか、まったくわかりません。
そこで、まずはビジューの面積の総和を求め、その面積に近いサイズの二等辺三角形を求めることにしました。
| 面積/個 | 総数 | 総面積 | ||
 |
円（大） | 1.76625 | 4 | 7.065 |
| 長方形（大） | 1.26 | 16 | 20.16 | |
| 円（小） | 0.5024 | 16 | 8.0384 | |
| 八角形（長方形小） | 0.4 | 50 | 20 | |
| 合計 | 55.2634 | |||
ビジューをすきまなくびっしり縫い付けるなら、およそ55平方センチメートルの二等辺三角形が必要となります。
まぁ、ほかにもビーズやパールなども縫い付けようかと思っているので、二等辺三角形の面積は55〜60平方センチメートルぐらいを考えておくとよさそうですね。
クリスマスツリーの黄金比率は？
二等辺三角形を作るなら、直角三角形を2つ重ねればよいな。と思い、三角定規でもおなじみの30°,60°,90°の直角三角形を考え、いったんは算出していました。
しかし、後で気づく。
Lukia
正三角形のクリスマスツリー。
もみの木の葉の繁り方は、正三角形ではないので、さすがにこれではデフォルメしすぎですね。
そこで、今度は「クリスマスツリー」をGoogleで画像検索し、
自分がいいなぁ。と思うクリスマスツリーの底辺と高さを測って、比を出してみました。
$$底辺：高さ=1 \ ： \ 1.15$$
驚いたことに、1.1まではぴたっと合いました。（小数第2位はばらつきあり）
ここから二次方程式を解き始めます。
$$\begin{align}求める&二等辺三角形の底辺の長さを \ x \ とする. \left( x \gt 0\right)\\\\ 底辺 \ ： \ 高さ=&1 \ : \ 1.15\quad より \\\\ 高さは&1.15x \ と表せる.\\\\ \frac{1}{2}\times 1.15x^2=&56\\\\ x^2=&\frac{112}{1.15} \fallingdotseq 97.39\\\\ x=&\sqrt{97.39} \fallingdotseq 9.87\end{align}$$
9.87センチ以上であれば、欲しい二等辺三角形の面積を満たせるのですから、
底辺を10センチ、高さが11.5センチの二等辺三角形を作ることにしました。
ちなみに、この場合、二等辺三角形の面積は57.5平方センチメートルとなります。
いや、でもちょっとびっしりすぎないか？
しかし、これまたモヤモヤ感が。
Lukia
柿ピーの比率は、柿の種：ピーナツ＝６：４。
理想は、７：３とも言われています。
８：２の法則なんてのもありますし、ビジューの占める割合を８割か、７割にしてみてはどうかと。
数学の問題ではないので、求める二等辺三角形の底辺の長さは、以下の式に代入すれば求められることとします。
$$\begin{align}底辺の長さを&x \ \left( x>0\right)\quad ,\quad ビジューの占める割合を \ a\quad \left( a=7,8\right) とする.\\\\ x^2=&\frac{1120}{1.15a}\end{align}$$
$$\begin{align}a=&7\quad のとき \\\\ x \fallingdotseq &11.8\\\\ \\\\ a=&8\quad のとき\\\\ x \fallingdotseq &11.0 \end{align}$$
つまりビジューが7割の場合は
底辺12センチ、高さ14センチの二等辺三角形を作ればよく、
ビジューが8割を占める場合は、
底辺11センチ、高さ12.6センチの二等辺三角形を作ればよいことになります。
Lukia
手芸コーナーに20分近くたたずんで悩みに悩み、結局白地のフェルトを買いました。
偶然にも金ラメと銀ラメの刺繍糸も見つけ、超ラッキーでした。
フェルトを切り取り、下描きをする
ビジューが全体の7割を占める底辺12センチ、高さ14センチの二等辺三角形で作ることにしたので、
その後の縫い代や星をつけるなどのことも考え、縦21センチ×横15センチでフェルトを切り取ることにしました。
縦は上下2センチの余白をとり、横は左右1.5センチずつの余白を取りました。
写真では、上の余白が多くなっていますが、これは、星のために3センチほど余裕をもたせているためです。
ビジューをまんべんなく、かつランダムに配置するためには？
最初は、大きなビジューから適当にボンボン貼り付けていこうと考えていましたが、
人のランダムな感覚は、本当にランダムなのかどうか疑わしい。
枠を作り、乱数でも発生させて、入れていけばいいんじゃないか。と考えるようになりました。
そこで改めて4種類のビジューの個数を確認しました。
一種類だけ例外がありますが、ほとんど4の倍数個となっています。
Lukia
乱数で入れるってのはどうかな？
大きな二等辺三角形の中に、相似な二等辺三角形を16個入れられないか。
ちょっと落書きしたら、たまたま
$$\lbrace a_n\rbrace=2n-1\quad \left( n \ は自然数\right) $$
という数列があてはまり、
数列の和の計算から
$$\begin{align}\\\\ S_n=&\sum_{k=1}^{n}{2k-1}=n^2 \\\\ n^2=&16\\\\ n=&4\quad \left( n \gt 0 \ より\right) \end{align}$$
4段作成できることがわかりました。
高さの14センチが4で割ると、3.5センチずつなので、目印を打って、底辺と平行な線を引き、
頂点と底辺の中点を結ぶ垂線の中点（7センチ）と、平行線と頂角を挟む長さの等しい線分との交点を結ぶ線を引いていくと、
あっという間に16個の二等辺三角形が作れました。
（紫の線は、フリクションカラーズです。加熱すると消えるので、手芸をするときはチャコペン代わりに使っています。）
しかし、またもや、ここで気づく。
Lukia
ビジューの2種類は、16個ずつあるから、たいしてランダムにならないんじゃね？（汗）
いや、4個のビジューもあるし！（汗）
50個のビジューもあるし！（汗）
小さい二等辺三角形のどこに配置するかはランダムぢゃし！（汗）（汗）（汗）
縫い付けビジューだが、貼り付けていく。
仮留めのつもりで、手芸用ボンドで貼り付けていきます。
机の上は、手芸用品にパソコンに書き散らした数式。（というほどたいそうなものでもないけど）
いったい、何やってるんだか、自分でもわからなくなってきました。(笑)
ちなみに、今回、ビジュー貼り付けに用いているのは、コニシの「裁ほう上手」。
Lukia
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枠の内側に貼り付けるだけなので、3種類のビジュー（36個）を10分足らずで貼り付けました。
残る50個のビジューは小さいのと、大きなビジューの隙間に貼るのが結構大変で、15分ぐらいかかりました。
作業してみて気がついたのが、ピンセットがあればいいな。ということ。
指でビジューをつまみ、ボンドを塗りつけると、どうしても指にボンドがついてしまい、
それがビジューのキラキラ面にもついてしまいます。
まだまだ縫い付けビジューの在庫があるので、この際百均のでもいいから、買っておくべきかもしれませんね。
なかなか壮観。
ビジューやパールを縫い付ける
当初は、「裁ほう上手」で仮留めし、その後裏からアイロンをかけて、熱で接着を強くすればいいか。と思っていたのですが、せっかく縫い付け用の穴がついていますし、飾り始めてしばらくしてから、接着が弱くなり、ポロポロ取れたりしても、直す気力はないだろう。と思ったので、糸でざくざく縫い付けていくことにしました。
Lukia
しかし、小さいビジューは、縫い付け穴が小さくて針が通らず、かといって穴を通る針を使うと、今度は刺繍糸（複数の糸がよってある）が通らないので、青い木綿糸で縫い付けていきました。
ビジューがキラキラしているし、白地に銀ラメ糸や、青ビジューに青い糸などを使ったので、糸がまったく悪目立ちしていません。
計算上は全体の7割をビジューが占めるということでしたが、見た目には9割近くになっています。
しかし、ところどころ隙間があるのも事実。（見た目と計算上は必ずしも一致しないということでしょうか）
だいぶん処分したものの、十数年前のビーズブームの名残の在庫ビーズが大量にありますので、
色が合うものがあれば、どんどん使っていこう。と思い、
ちょうどよいグレーパールがあったので、これを縫い付けていくことにしました。
クリスマスツリーといえば、ふわふわしたモール？飾りがついていますね。
これをイメージして、2ｍｍのパールを縫い付けました。
Lukia
アラサーのときでも2mmのパールは穴が小さくて扱いにくかったのに、アラフィフになる今後は、もはや使う気にもならないことでしょう。
というわけで、「え〜い、完全な老眼になるまでに、在庫をはかしてやる〜！！！」とばかり、贅沢にいろんなビーズを使うことにしています。
本当は、数学的にこだわって、一定の間隔でモールを飾りたかったのですが、あまりいい方法を思いつけず、
ここは感覚的に飾ることにしました。
寄る年波には勝てぬ・・・（涙）
レポート感覚で気軽に書いた記事ですが、なんと5000字近くになっています。
そしてやはり40代ならではでしょうか。集中力はまだまだあるのですが、体がついていきません。
細かい作業で目が疲れているのか、頭痛がしてきたので、今日はここまでとしました。
次回以降、星を作る作業をレポートしようと思います。
「数学を使って」と銘打ってしまったので、星もコンパスで描く方法などを使っていこうと思います。
目は疲れるものの、ビーズを縫い付ける作業自体は面白いので、クリスマスツリーのタペストリーが完成したら、
ほかにも考えてみようかなと思います。
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