中点と放物線の性質が理解できてる？【粗忽な大人、高校入試問題を解く〜それ、誤答です！〜】

2022年4月13日2023年1月9日中学数学

広島県公立高校入試の2022年、2021年、2020年の数学の問題を解いてみました。
深い読解能力と素早い処理能力が必要とされる問題になっているな。と感じました。
3ヶ年分の問題のうち、私がおっちょこちょいなことをしたり、ツメが甘くて間違えた問題について解き直してみようと思います。

解法

点\( \ \mathrm{A} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ a \ \)(ただし、\( \ a \gt 0 \ \))とおく。
点\( \ \mathrm{A} \ \)は\( \ \left( a,-3\right) \ \)と表せる。
同様に、点\( \ \mathrm{B} \ \)の\( \ x \ \)座標を\( \ b \ \)(ただし、\( \ b \lt 0 \ \))とおく。
点\( \ \mathrm{B} \ \)は\( \ \left( b,-3\right) \ \)と表せる。
点\( \ \mathrm{C} \ \)は点\( \ \mathrm{A} \ \)と\( \ x \ \)座標を同じくし、点\( \ \mathrm{D} \ \)は点\( \ \mathrm{B} \ \)と\( \ x \ \)座標を同じくするので、
点\( \ \mathrm{C} \ \)は\( \ \left( a,\displaystyle\frac{1}{4}a^2\right) \ \),
点\( \ \mathrm{D} \ \)は\( \ \left( b,\displaystyle\frac{1}{4}b^2\right) \ \)と表せる。

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四角形\( \ \mathrm{DBAC} \ \)が正方形となるには、
\( \ \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \ \)である必要がある。
$$\begin{align}\mathrm{AB}=&\mathrm{AC} \\\\ a-b=&\frac{1}{4}a^2-\left( -3\right) \\\\ a-b=&\frac{1}{4}a^2+3 \ \cdots① \end{align}$$ また、放物線は\( \ y \ \)軸に関して対称なので、2点\( \ \mathrm{A},\mathrm{B} \ \)の中点が\( \ y \ \)軸上にあればよい。

$$\begin{align}\frac{a+b}{2}=&0 \\\\ b=&-a \ \cdots \ ② \end{align}$$ ②を①に代入して
$$\begin{align}a-b=&\frac{1}{4}a^2+3 \\\\ a-\left( -a\right)=&\frac{1}{4}a^2+3 \\\\ \frac{1}{4}a^2-2a+3=&0\\\\ a^2-8a+12=&0\\\\ \left( a-2\right)\left( a-6\right)=&0\\\\ a=&2,6 \end{align}$$

こたえ

\( \ 2,6 \ \)

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