定額貯金と複利（その2）【大学入学共通テスト2023年数学ⅡB】

2023年2月1日大学入学共通テスト,数列

1年目の初めに入金した\( \ p \ \)万円は、\( \ 10 \ \)万円と同じように考えればよいので、
\( \ n \ \)年目の初めには、\( \ p\times 1.01^{{\color{#0004fc}{n-1}}} \ \)万円となる。

これらの規則性から、
\( \ k \ \)年目の初めに入金した\( \ p \ \)万円は、
\( \ n \ \)年目の初めには、\( \ p\times 1.01^{n-k} \ \)万円になる。

ゆえに、\( \ k=2 \ \)のとき、
\( \ n \ \)年目の初めには、\( \ p\times 1.01^{{\color{#0004fc}{n-2}}} \ \)万円 となる。

これより(以下、\( \ 1.01=r \ \) とおく）
$$\begin{align}a_n=&10r^{n-1}+pr^{n-1}+pr^{n-2}+\cdots\cdots+p \\\\ =&10r^{n-1}+p\sum_{k=1}^{n}{r^{{\color{#0004fc}{k-1}}}} \end{align}$$
また、 $$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{r^{k-1}}=&\frac{r^n-1}{r-1} \\\\ =&\frac{1.01^n-1}{1.01-1} \\\\ =&{\color{#0004fc}{100\left( 1.01^n-1\right) }}\end{align}$$
であるから、\( \ a_n \ \) は
$$\begin{align}a_n=&10r^{n-1}+p\sum_{k=1}^{n}{r^{k-1}} \\\\ =&10r^{n-1}+100p\left( r^n-1\right)  \end{align}$$
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プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。