3種目参加の猛者は何人？【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

2022年9月7日2023年1月31日SPI能力検査（非言語分野）,集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん！

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図？なにそれ？という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

解法

全体集合(在校生の総数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(綱引きにエントリー)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(リレーにエントリー)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(障害物にエントリー)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
（ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している）
綱引きにエントリーしている者を\( \ \mathrm{X} \ \)人、
リレーにエントリーしている者を\( \ \mathrm{Y} \ \)人、
障害物にエントリーしている者を\( \ \mathrm{Z} \ \)人、
綱引き、リレー、障害物すべてにエントリーしている者を\( \ a \ \)人とする。

	$$\mathrm{XY}$$	$$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$	$$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$	$$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$	\( \ a \ \)	\( \ b \ \)	\( \ c \ \)	\( \ d \ \)
	$$a$$
$$\overline{\mathrm{Z}}$$	\( \ e \ \)	\( \ f \ \)	\( \ g \ \)	\( \ h \ \)
				$$0$$

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 100\\ \mathrm{X} =\mathrm{X} \\\mathrm{Y} = \mathrm{Y}\\\mathrm{Z} =\mathrm{Z} \end{array} \right. \end{eqnarray}

$$\begin{align}\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}=&\mathrm{X}+\mathrm{Y}-\left( \mathrm{X}\cap\mathrm{Y}\right)\quad \rm{より} \\\\ \mathrm{X}+\mathrm{Y}=&149 \ \cdots \ \rm{①} \\\\ \mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=&\mathrm{Y}+\mathrm{Z}-\left( \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z}\right)\quad \rm{より} \\\\ \mathrm{Y}+\mathrm{Z}=&150 \ \cdots \ \rm{②} \\\\ \mathrm{Z}\cup\mathrm{X}=&\mathrm{Z}+\mathrm{X}-\left( \mathrm{Z}\cap\mathrm{X}\right)\quad \rm{より} \\\\ \mathrm{Z}+\mathrm{X}=&147 \ \cdots \ \rm{③} \\\\\rm{①+②+③より}&\\\\ 2\left( \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}\right)=&446\\\\ \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}=&223 \ \cdots \ \rm{④} \end{align}$$ また
$$\begin{align}\mathrm{X}\cap\mathrm{Y}=&a+e=58 \\\\ \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z}=&a+c=56 \\\\ \mathrm{Z}\cap\mathrm{X}=&a+b=54 \\\\ 辺々加えて&\\\\ 3a+\left( b+c+e\right)=&168 \ \cdots \ \rm{⑤} \end{align}$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=223 \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =100 \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha=b+c+e \ \), \( \ \beta=d+f+g \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a+2\alpha+\beta =223 \quad \cdots \ ⑥ \\ a+\alpha+\beta =100 \quad \cdots \ ⑦ \end{array} \right. \end{eqnarray} ⑥-⑦より
$$\begin{align}2a+\alpha=&123 \\\\ \alpha=&123-2a \end{align}$$ これを⑤に代入して
$$\begin{align}3a+\left( b+c+e\right)=&168\\\\ 3a+\alpha=&168 \\\\ 3a+123-2a=&168 \\\\ a=&45 \end{align}$$

こたえ

\( \ 45 \ \)人

ほかの問題にもチャレンジ！

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

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この記事のタイトルは『3種目参加の猛者は何人？』です。