男女別の売れ筋調査？！【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

2022年8月31日2023年1月31日SPI能力検査（非言語分野）,集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん！

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図？なにそれ？という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

解法

全体集合(男性の総数)を集合\( \ \mathrm{U}_m \ \),
『条件\( \ \mathrm{X}_m \ \)(おにぎりを購入した男性)』を集合\( \ \mathrm{X}_m \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y}_m( \ \)お茶を購入した男性)』を集合\( \ \mathrm{Y}_m \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z}_m \ \)(雑誌を購入した男性)』を集合\( \ \mathrm{Z}_m \ \)とする.

全体集合(女性の総数)を集合\( \ \mathrm{U}_f \ \),
『条件\( \ \mathrm{X}_f \ \)(おにぎりを購入した女性)』を集合\( \ \mathrm{X}_f \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y}_f( \ \)お茶を購入した女性)』を集合\( \ \mathrm{Y}_f \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z}_f \ \)(雑誌を購入した女性)』を集合\( \ \mathrm{Z}_f \ \)とする.

性別を問わず、3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
（ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している）

男性の情報を整理する

男性	$$\mathrm{XY}$$	$$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$	$$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$	$$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$	\( \ a_m \ \)	\( \ b_m \ \)	\( \ c_m \ \)	\( \ d_m \ \)
	$$3$$
$$\overline{\mathrm{Z}}$$	\( \ e_m \ \)	\( \ f_m \ \)	\( \ g_m \ \)	\( \ h_m \ \)
				$$h_f-2$$

男性\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U}_m = 100\\ \mathrm{X}_m =28 \\\mathrm{Y}_m = 21\\\mathrm{Z}_m =2z_f-8\end{array} \right. \end{eqnarray}


\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}_m+\mathrm{Y}_m+\mathrm{Z}_m =3a_m+2\left( b_m+c_m+e_m\right)+\left( d_m+f_m+g_m\right)=41+2z_f \\ \mathrm{X}_m\cup\mathrm{Y}_m\cup\mathrm{Z}_m=a_m+\left( b_m+c_m+e_m\right) + \left( d_m+f_m+g_m\right) =102-h_f \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha_m=b_m+c_m+e_m \ \), \( \ \beta_m=d_m+f_m+g_m=22 \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a_m+2\alpha_m+\beta_m =41+2z_f \quad \cdots \ ① \\ a_m+\alpha_m+\beta_m =102-h_f \quad \cdots \ ② \end{array} \right. \end{eqnarray}

①において
$$\begin{align}3a_m+2\alpha_m+\beta_m=&3\times 3+2\alpha_m+\beta_m \\\\ 2\alpha_m=&10+2z_f \end{align}$$ ②において
$$\begin{align}a_m+\alpha_m+\beta_m=&102-h_f \\\\ \alpha_f=&77-h_f \end{align}$$ ①、②より
\( \ 2\left( 77-h_f\right)=10+2z_f \ \cdots \ ⑤ \ \)

女性の情報を整理する

女性	$$\mathrm{XY}$$	$$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$	$$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$	$$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$	\( \ a_f \ \)	\( \ b_f \ \)	\( \ c_f \ \)	\( \ d_f \ \)
	$$4$$
$$\overline{\mathrm{Z}}$$	\( \ e_f \ \)	\( \ f_f \ \)	\( \ g_f \ \)	\( \ h_f \ \)
				$$h_f$$

女性\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U}_f = 100\\ \mathrm{X}_f =27 \\\mathrm{Y}_f = 24\\\mathrm{Z}_f =z_f \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}_f+\mathrm{Y}_f+\mathrm{Z}_f =3a_f+2\left( b_f+c_f+e_f\right)+\left( d_f+f_f+g_f\right)=51+z_f \\ \mathrm{X}_f\cup\mathrm{Y}_f\cup\mathrm{Z}_f=a_f+\left( b_f+c_f+e_f\right) + \left( d_f+f_f+g_f\right) =100-h_f \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha_f=b_f+c_f+e_f \ \), \( \ \beta_f=d_f+f_f+g_f=23 \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a_f+2\alpha_f+\beta_f =51+z_f \quad \cdots \ ③ \\ a_f+\alpha_f+\beta_f =100-h_f \quad \cdots \ ④ \end{array} \right. \end{eqnarray}
③より
$$\begin{align}3a_f+2\alpha_f+\beta_f=&51+z_f \\\\ 3\times 4+2\alpha_f+23=&51+z_f \\\\ 2\alpha_f=&16+z_f \end{align}$$ ④より
$$\begin{align}a_f+\alpha_f+\beta_f=&100-h_f \\\\ 4+\alpha_f+23=&100-h \\\\ \alpha_f=&73-h_f \end{align}$$ ③と④より
\( \ 2\left( 73-h_f\right)=16+z_f \ \cdots \ ⑥ \ \)

2商品以上購入した人数を求める

2商品以上（最大3商品）購入した人数を求める。
2商品以上（最大3商品）購入した人数は、\( \ \left( a_m+\alpha_m\right)+\left( a_f+\alpha_f\right) \ \) と表せる。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2\left( 77-h_f\right) = 10+2z_f \ \cdots \ ⑤ \\ 2\left( 73-h_f\right)=16+z_f \ \cdots \ ⑥ \end{array} \right. \end{eqnarray} これを解いて、\( \ h_f=58 \ \)
$$\begin{align}\left( a_m+\alpha_m\right)+\left( a_f+\alpha_f\right)=&3+\left( 77-h_f\right)+4+\left( 73-h_f\right) \\\\ =&7+\left( 77-58\right)+\left( 73-58\right) \\\\ =&41 \end{align}$$

こたえ

\( \ 41 \ \)人

ほかの問題にもチャレンジ！

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

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この記事のタイトルは『男女別の売れ筋調査？！』です。