平面ベクトル三角形の内分比を統一する（その2）【たすきがけで比を統一せよ!!】

2023年1月7日ベクトル実用数学技能検定（数学検定数検),数検2級,数検準1級

読了時間: 約2分9秒

問題

△ ABC

において、辺

AB

を

3 : 1

に内分する点を

D

、辺

AC

を

3 : 2

に内分する点を

E

、

BE

と

CD

の交点を

P

とする。
このときの

\vec{AP}

を

\vec{AB}

、

\vec{AC}

で表せ。

内分の比を「統一」する。

Lukia

適当な三角形を描いて、内分比を書き込んでいきます。
辺

AB

を

3 ： 1

に内分するに点

D

を打ち、たすき掛けするように、反対側の頂点に内分比を書き込みます。
私は、比と辺の長さが区別しやすいよう、比の数値を〇や□で囲みます。
辺

AC

についても同様に内分比を書き込みます。

Lukia

ここで、赤の内分比を2倍すれば、青の内分比に統一できそうなので、
赤の内分比を書き換えます。

Lukia

辺

BE

と辺

CD

を結び、交点

P

を定めます。
交点

P

は、辺

BE

と辺

CD

それぞれの内分点であるとわかりますね。
内分点自体の比は、両端の比の和で求められますから、

11

です。

Lukia

\vec{AP} = s \vec{AB} + t \vec{AC}

(た だ し, s, t は 任 意 の 実 数)

で表せ。とありましたから、
点

A

以外の点に書いてある比をまずは、ベクトルの前に書いてやりましょう。

$\begin{aligned} 11 \vec{AP} = & 6 \vec{AB} + 3 \vec{AC} \\ \vec{AP} = & \frac{3}{11} (2 \vec{AB} + \vec{AC}) \end{aligned}$

こたえ

$\vec{AP} = \frac{3}{11} (2 \vec{AB} + \vec{AC})$

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プロフィール

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Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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